Equivalencia de las definiciones de "objeto de grupo" usando el lema de Yoneda

Question

Acabo de empezar el aprendizaje de la categoría de teoría y estoy tratando de obtener una comprensión de cómo pensar acerca de la Yoneda lema. Obvio aplicaciones son claras para mí (Yoneda la inclusión es completa y fiel, por ejemplo), pero quiero entender cómo se utiliza en la práctica de las matemáticas. En particular, tengo la siguiente pregunta:

¿Cómo se hace exactamente Yoneda implica que la definición de un objeto de grupo en una categoría con productos finite (como un objeto $G$ junto con un functor de esa categoría a la categoría de grupos tales que el material compuesto de la misma con el olvidadizo functor a la categoría de conjuntos es representado por $G$) es equivalente a requerir que el natural diagramas que dan el grupo de axiomas para ir a trabajar?

Realmente estoy buscando algo de intuición. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Aquí es una manera de ver. Deje $\mathcal C $ ser una categoría con finito de productos. Por Yoneda, el functor $\mathfrak h \colon \mathcal C \to \widehat{\mathcal C}, c \mapsto \hom(-,c)$ es totalmente fiel. Por otra parte, se conserva finito productos por definición. Así

Lema 1. Un objeto $g$ $\mathcal C$ es un grupo de objetos con la multiplicación $m$, inverso $i$ y una unidad de $e$ si y sólo si $\mathfrak h (g) = \hom(-,g)$ es un grupo de objetos en $\widehat{\mathcal C}$ con mutiplication $\mathfrak h(m)$, inverso $\mathfrak h(i)$ y una unidad de $\mathfrak h(e)$.

Pero $\widehat{\mathcal C}$ es un preasheaf categoría: si desea comprobar la conmutatividad de un diagrama en el que, simplemente marque la conmutatividad en cada componente. Lo que da

Lema 2. Un objeto $G$ $\widehat{\mathcal C}$ es un grupo de objetos con la multiplicación $m$, inverso $i$ y una unidad de $e$ si y sólo si para cada $c \in \mathcal C$, $G(c)$ es un grupo (en el conjunto teórico de sentido) con la multiplicación $m(c)$, inverso $i(c)$ y una unidad de $e(c)$.

Poner los dos lema juntos para conseguir que

Un objeto $g$ $\mathcal C$ es un grupo de objetos con la multiplicación $m$, inverso $i$ y una unidad de $e$ si y sólo si para cada $c \in \mathcal C$, $\hom(c,g)$ es un grupo con mutiplication $(x,y) \mapsto m \circ \langle x,y\rangle$, inverso $x \mapsto i\circ x$ y la unidad de la unidad de $e \circ (c \to 1)$.

Me permiten ver que la última condición es exactamente los datos de un functor ${\mathcal C}^{\rm op} \to \mathsf{Grp}$ factorización $\hom(-,g)$ a través de la olvidadizo functor de grupos a los conjuntos.