Supongamos que $|\alpha_1| \le |\alpha_2| \le \cdots \le 1$ , $n(r) = \#\{\alpha_j \le r\}$ . Prueba $\int_0^1n(r)dr = \sum_{j=1}^\infty(1-|\alpha_j|)$ .

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio del capítulo 15 de Análisis Real y Complejo de Rudin:

Supongamos que $|\alpha_1| \le |\alpha_2| \le \cdots \le 1$ y que $n(r)$ sea el número de términos de la secuencia $\{\alpha_j\}$ tal que $|\alpha_j| \le r$ . Demuestra que: $$\int_0^1n(r)dr = \sum_{j=1}^\infty(1-|\alpha_j|)$$

$a_j$ son números complejos.

Mis pensamientos:

Haga $\alpha_0 = 0$ , $r_j = |\alpha_j|$ .

$$\int_0^{r_{N+1}}n(r)dr = \sum_{j=0}^N\int_{r_j}^{r_{j+1}}n(r)dr = \sum_{j=0}^Nj(r_{j+1}-r_j) = Nr_{N+1} + \sum_{j=1}^N(-r_j)$$

Como $N\to\infty$ el lado izquierdo es menor o igual que la integral que nos interesa pero $Nr_{N+1}$ no se acerca a $1$ . Lo que me preocupa es que realmente se acerque $\infty$ así que sospecho que estoy haciendo algo mal. ¿Qué es? ¿Cómo puedo probar esta afirmación? Gracias.

Answer 1

Esto se deduce de una doble suma/integración, llámese Teorema de Fubini si lo desea.

Para ver por qué, considere alguna colección (contable) de números $x_i$ en $[0,1]$ y $n(r)$ el número de índices $i$ tal que $x_j\leqslant r$ Es decir, $$ n(r)=\sum_i\mathbf 1_{x_i\leqslant r}. $$ Entonces, $$ \int_0^1n(r)\,\mathrm dr=\int_0^1\sum_i\mathbf 1_{x_i\leqslant r}\,\mathrm dr=\sum_i\int_0^1\mathbf 1_{x_i\leqslant r}\,\mathrm dr, $$ donde la última identidad es el teorema de Fubini aplicado al producto de la medida de recuento y la medida de Lebesgue sobre $[0,1]$ , ambos sigma-finitos. Ahora, cada integral en la suma de la derecha es $$ \int_0^1\mathbf 1_{x\leqslant r}\,\mathrm dr=\int_x^1\mathrm dr=1-x, $$ para algunos $x$ donde la primera identidad utiliza el hecho de que $0\leqslant x\leqslant1$ . Aplicando esto a $x=x_i$ con $x_i=|\alpha_i|$ para cada $i$ y sumando sobre cada índice $i$ has terminado.

Answer 2

Su cálculo es correcto pero no completo. Dejemos que $r_j:=|\alpha_j|$ . Si $r_j\to x$ y $x<1$ entonces es fácil ver que ambos lados son iguales al infinito. En realidad, lo has demostrado parcialmente.

Caso 2: Supongamos que $r_j\to 1$ . Entonces es fácil ver que la integral del lado izquierdo es igual a la siguiente serie: $$ \sum_{j=1}^\infty (r_{j+1}-r_j)j. $$
dejar $S_n$ denotan la suma de los primeros $n$ términos de esta serie. Entonces puede ver que $$ S_n=\sum_{j=1}^n (r_{n+1}-r_j). $$ Tomar el límite cuando $n\to \infty$ demuestra la igualdad.