Tengo una pregunta muy elemental: ¿es el primer aditivo de la clase Chern? Más específicamente, dada una corta secuencia exacta de roldanas coherentes en una curva no singular$X$ $$ 0 \ a \ mathscr F '\ a \ mathscr F \ a \ mathscr F' '\ a 0, $$ lo hace necesariamente Espera $c_1(\mathscr F)=c_1(\mathscr F')+c_1(\mathscr F'')$? Sé que la fórmula del producto tensor$c_1(\mathscr F\otimes \mathscr F')=\operatorname{rank}(\mathscr F')\cdot c_1(\mathscr F') + \operatorname{rank}(\mathscr F)c_1(\mathscr F'),$ pero no sé cómo relacionarlo con eso.
Respuesta
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Primero nos restringimos al caso de vectores haces localmente libres de poleas), luego de esto se deduce de la Whitney fórmula de la suma, que los estados
Si $E \to X$ es un vector paquete, vamos a $c_t(E) = \sum_{i=0}^{\infty} c_i(E) t^i$ denotar la Chern de alimentación de la serie de $E$. A continuación, para cualquier secuencia exacta corta $$ 0 \a E' \E \a E" \0, $$ tenemos la igualdad de $c_t(E) = c_t(E') c_t(E'')$.
Una referencia es Ravi Vakil notas en la intersección de la teoría. Una consecuencia inmediata de la Whitney fórmula de la suma es $$ c_1(E) = c_0(E") c_1(E') + c_1(E")c_0(E') = c_1(E') + c_1(E"), $$ desde el cero de las clases de Chern se $c_0(E') = c_0(E'') = 1$.
Ahora, para el caso general. Dado un coherente gavilla, se admite una resolución de longitud de $\dim X$ localmente libre de poleas (este es el Ejercicio 6.9 de la sección III.6 de Hartshorne). Su Chern clases son definidas por forzar el Whitney fórmula de la suma para celebrar, así que también tendremos que $c_1(\mathscr{F}) = c_1(\mathscr{F}') + c_1(\mathscr{F}'')$ durante un breve secuencia exacta $0 \to \mathscr{F}' \to \mathscr{F} \to \mathscr{F}'' \to 0$ coherente de las poleas.
