¿alguien puede mostrar cómo calcular$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(\frac{9}{4} \right)^n+\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2} \right)^{\frac{1}{n}}$?
Según W | A es e, pero ni siquiera sé cómo comenzar ...
Por favor ayuda, gracias.
Respuesta
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Claramente, $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n^2}< \left(\frac{9}{4}\right)^n+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n^2}<2\,\mathrm{e}^n, $$ y por lo tanto $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}< \left(\left(\frac{9}{4}\right)^n+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right)^{1/n}\le 2^{1/n}\mathrm{e} $$ lo que implica que $$ \mathrm{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}\le\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{9}{4}\right)^n+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right)^{1/n}\le \lim_{n\to\infty}2^{1/n}\mathrm{e}=\mathrm{e}. $$ Por lo tanto el límite de$\,\left(\left(\frac{9}{4}\right)^n+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right)^{1/n},\,\,$$\,n\to\infty$, existe y es igual a e.
