¿Existen series de Taylor para funciones de una matriz?

Question

Supongamos que tenemos una función escalar $f(x,A)$ de un vector $x$ y una matriz $A$ . ¿Existe algún tipo de serie de Taylor para la matriz $A$ ? Pensaba ingenuamente que sería simplemente de la forma $\sum_{n} \frac{\partial^{n}f(x,0)}{\partial A^{n}}\frac{A^{n}}{n!}$ Donde las derivadas se toman con respecto a la matriz $A$ . La suma debe seguir siendo un escalar para que las potencias de $A$ coinciden con las derivadas tomadas con respecto a $A$ para que todos los índices se sumen implícitamente. ¿Alguna sugerencia o comentario?

Answer 1

Para un $k$ -tenemos la siguiente forma para el teorema de Taylor $$f(x+h)=\sum_{n=0}^\infty {{(h\cdot \nabla)^n}\over{n!}}f(x)$$ donde \begin{align}x&=(x_1,\cdots,x_k)\\ h&=(h_1,\cdots,h_k)\\ \nabla&=\left({\partial \over \partial x_1},\cdots,{\partial \over \partial x_k}\right)\;.\end{align}

Si $g$ es una función escalar suave, $X,H$ matrices, $A,B$ vectores columna, de modo que $A^TXB$ es un producto punto a través de $X$ entonces creo que lo anterior nos lleva a

$$g(A^T(X+H)B)=\sum_{n=0}^\infty {{(A^T HB)^n}\over {n!}}g^{(n)}(A^TXB)$$