Límite de una función 0/0

Question

Digamos que tenemos una función, por ejemplo, $$ f(x) = \frac{x-1}{x^2+2x-3}, $$ y queremos ahora lo que es $$ \lim_{x \to 1} f(x). $$ El resultado es $\frac{1}{4}$ .

Por tanto, existe un límite como $x \to 1$ .

Mi profesor dice que el límite en $x=1$ no existe. ¿Cómo es eso? No lo entiendo. Sabemos que un límite existe cuando los límites de un lado son el mismo resultado.

Gracias.

Answer 1

Es posible que tu profesor estuviera señalando el hecho de que la función no existe en $x = 1$ . Eso es diferente a decir que el el límite no existe como $x \to 1$ . Obsérvese que al factorizar, $$ f(x) = \frac{x-1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{x-1}{(x-1)(x+3)} $$

Mientras consideremos $x \ne 1$ la última expresión se simplifica: $$ \frac{x-1}{(x-1)(x+3)} = \frac{1}{x+3}. $$ En otras palabras, para cualquier $x$ que no sea exactamente $1$ , $$ f(x) = \frac{1}{x+3}. $$ Esto ayuda a entender lo que ocurre cuando $x$ se acerca cada vez más a $1$ : $f(x)$ se acerca cada vez más a $$ \frac{1}{(1) + 3} = \frac{1}{4}. $$

Answer 2

Tu profesor no tiene razón. Hay dos maneras fáciles de hacer este problema. La primera es factorizando el denomiador:

$$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+3)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{4}$$

La segunda es utilizando la regla de L'Hospital, que es una identidad útil en los límites. En La regla de L'Hospital sabemos que

$$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+2x-3}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{2x+2}=\frac{1}{4}$$

Este límite existe, porque es simplemente una discontinuidad en la función, pero es una discontinuidad en un solo punto. Cuando tenemos ciertas formas indeterminadas en los límites, podemos aplicar la regla de L'Hospital, que nos permite calcular mejor el límite.

La regla de L'Hospital establece que, en ciertas formas indeterminadas:

$$\lim_{x\to n}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to n}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

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Merece la pena aclarar una idea errónea que parece haber surgido. En $$f(x)=\frac{x-1}{x^2+2x-3}$$ no podemos calcular el valor de $f(1)$ porque esto da lugar a una forma indeterminada. Sin embargo, el límite existe, porque simplemente hay una discontinuidad local en un único punto de una función que por lo demás es continua.

Answer 3

No sé a qué se refiere exactamente tu profesor. Los límites se definen cuando $x$ tiende a algún número, o al infinito. No cuando $x$ es este número.

El valor que toma la función en el punto límite es irrelevante (para calcular el límite). De hecho, en la mayoría de los ejercicios de límite de la escuela secundaria, la función no está definida en el punto que $x$ tiende a.