¿Un operador compacto tiene siempre un núcleo?

Question

Lo siento si esta pregunta es estúpida..... La planteo cuando leo el libro de Lax Análisis Funcional. Sabemos que algunos operadores integrales son compactos, por ejemplo un operador integral de $L^2[Y]$ a $L^2[X]$ definido por $$ (Kf)(x) = \int{K(x,y)f(y)dy}$$ es compacto si $X$ y $Y$ son espacios compactos y el núcleo es integrable al cuadrado. ¿Pero qué hay de la pregunta inversa? ¿Cualquier operador compacto de $L^2[Y]$ a $L^2[X]$ siempre tiene un núcleo $K(x,y)\in{L^2}$ ? Si no es así, ¿bajo qué condiciones este operador compacto tiene tal núcleo?

Además, ¿qué hay de otros espacios, como $C(X)$ , $L^p$ ¿espacio? (Para los genéricos $L^p$ espacio, no estoy seguro de que esta pregunta tenga sentido, ya que la integral anterior puede divergir....)

¿Alguien puede darme una pista o alguna referencia? Gracias.

Answer 1

Si insiste en que $K$ debe ser cuadrado-integrable, entonces incluso en $L_2$ esto no es cierto. De hecho, todo operador integral de este tipo debe ser Hilbert-Schmidt pero hay muchos operadores compactos que no son Hilbert-Schmidt. (Por ejemplo, cualquier operador diagonal con respecto a una base ortonormal fija cuyos valores propios no son sumables (cuadrados) sino que tienden a 0). Véase una pregunta relacionada aquí .