$f(z)$ y $f(\bar{z})$ ambos holomorfos en $|z|\leq 1$

Question

Dejemos que $f(z)$ y $f(\bar{z})$ sea holomorfo en $|z|\leq 1$ . Debe $f(z)$ sea constante en $|z|\leq 1$ ?

Es un hecho que $f(\bar{z})$ es holomorfa si y sólo si $\overline{f(z)}$ es holomorfa, para cualquier $z\in\mathbb{C}$ .

Así que tenemos que $f(z)$ y $\bar{f(z)}$ son ambas holomorfas en $|z|\leq 1$ . ¿Cómo seguir adelante?

Answer 1

Sugerencia Si $f(z)$ y $\overline{f(z)}$ son ambas holomorfas, por lo que $f(z)+\overline{f(z)}$ y $\frac{f(z)-\overline{f(z)}}{i}$ . Pero ambas funciones sólo toman valores reales. Ahora demuestre que si $g$ es holomorfo y sólo toma valores reales, es constante.

Solución alternativa Escribe las ecuaciones de Cauchy Riemann para $f(z)$ y $f(\bar{z})$ y deducimos que $f'=0$ .

Answer 2

Sólo hay que escribir las ecuaciones de Cauchy-Riemann (en algún momento). Si se cumplen para $z$ y $\overline{z}$ verás que la derivada tiene que ser cero en ese punto.

Answer 3

Sugerencia: Utilice el criterio de Wirtinger (que se deriva de las ecuaciones C-R) que dice que $f$ es holomorfo si $$\frac {df}{d\overline z}(z)=0$$ por cada $z$

Answer 4

$$f(z)-f(\bar{z}) $$ es una función holomorfa en el disco unitario cerrado, que desaparece en su diámetro real. Por el teorema de la identidad tenemos $$f(z)-f(\bar{z}) = 0 $$ para todos $|z| \leq 1$ .

Ampliar $f(z)$ en su serie taylor como $$f(z)= \sum_{n=0}^\infty a_n z^n $$ que es válido en el mismo disco. Escribir $z$ en forma polar y utilizando lo anterior encontramos $$f(z)-f(\bar{z})=\sum_{n=0}^\infty a_n (e^{i n \theta}-e^{-i n \theta}) r^n=2i \sum_{n=1}^\infty a_n \sin n \theta \; r^n \equiv 0 .$$ De la unicidad de la serie de Fourier se deduce que $a_n =0$ para todos $n \geq 1$ que reduce $f(z)$ a la constante $a_0$ .