¿Cuándo siguen siendo conjuntos las clases de equivalencia extensional?

Question

Sea $\sim$ denotan equivalencia extensional. Es decir, $y\sim x \Leftrightarrow \forall z(z\in y \leftrightarrow z\in x)$ .

Dado un conjunto $x$ , dejemos que $[[x]] := \lbrace y:y\sim x\rbrace$ . Claramente, $\textrm{ZF}$ demuestra que estas clases son conjuntos, ya que por extensionalidad son sólo singletons. Con un poco más de esfuerzo, podemos ver que $\textrm{ZF}$ sin el axioma de extensionalidad sigue demostrando que son conjuntos: Si $y\sim x$ entonces $y\subseteq x$ y así $y\in \mathcal{P}(x)$ donde $\mathcal{P}(x)$ es cualquier conjunto de potencias de $x$ . Aplicar la comprensión a $\mathcal{P}(x)$ nos da un conjunto deseado con los mismos elementos que $[[x]]$ .

Pregunta : En $\textrm{ZF}$ sin el axioma de extensionalidad y el axioma de conjunto de potencias siguen demostrando que $[[x]]$ ¿es un conjunto?

Edita: El significado de " $[[x]]$ es un conjunto" es $\exists y \forall z (z\in y \leftrightarrow z\sim x)$ .

Answer 1

La respuesta es no. He aquí una forma de verlo. Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal incontable regular. Por recursión podemos definir una serie de estructuras $\langle A_\alpha, \in_\alpha\rangle$ para $\alpha\leq\kappa$ . En primer lugar, dejemos que $A_0$ et $\in_0$ estar vacía. Entonces hacemos $\langle A_{\alpha+1}, \in_{\alpha+1}\rangle$ relacionar algo nuevo con los elementos de cada menos de $\kappa$ subconjunto de $A_\alpha$ . Por ejemplo, supongamos $x\subseteq A_\alpha$ tiene un tamaño inferior a $\kappa$ . Luego elegimos algunos $y\not\in \bigcup_{\beta\leq \alpha} A_\beta$ y definir $\in_{\alpha+1}$ tal que $z\in_{\alpha+1} y$ por si acaso $z\in x$ . En los límites aceptamos sindicatos.

Es fácil comprobar que $\langle A_\kappa, \in_\kappa\rangle$ satisface ZF menos Powerset menos Extensionalidad. Pero como añadimos un nuevo conjunto vacío en cada etapa sucesora, habrá $\kappa$ muchos conjuntos vacíos y, por tanto, ningún conjunto que los contenga a todos.