el grupo de difeomorfismos del intervalo es perfecto

Question

Cada elemento de $\mathrm{Diff}([0,1])$ El grupo de difeomorfismos del intervalo que fija los puntos extremos, puede escribirse como un producto de conmutadores ya que este grupo es perfecto (aunque no conozco la prueba).

¿Es posible escribir cada elemento como un solo conmutador?

Editar: @Jim Belk Estoy confundido en realidad. La motivación para esta pregunta fue esta afirmación, que he visto en un artículo en una revista revisada por pares (sin prueba sin embargo): Si S es una superficie con límite que no es plana compacta, y $b$ es un componente de frontera y $\mu$ es un difeomorfismo del intervalo, entonces existe una foliación de $S \times [0,1]$ (podemos pensar en él como un haz de fibras sobre S con fibra [0,1]), transversal al factor [0,1], tal que tiene holonomía $\mu$ en la frontera $b$ . He considerado el caso de que S sea un toro perforado una vez porque implica el caso general. Ahora bien, si miramos la representación del grupo fundamental en el grupo de difeomorfismos de la fibra ([0,1] aquí) entonces esto implica que $\mu$ se puede escribir como un conmutador en el grupo de difeomorfismo y estas dos afirmaciones son equivalentes. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

No es cierto que este grupo sea perfecto. En particular, la función $D\colon \mathrm{Diff}([0,1])\to \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ definido por $$ D(f) \;=\; \bigl(\log f'(0),\log f'(1)\bigr) $$ es un homomorfismo no trivial de $\mathrm{Diff}([0,1])$ en un grupo abeliano.

Resulta que el subgrupo conmutador de $\mathrm{Diff}([0,1])$ es precisamente el núcleo de este homomorfismo. Véase el siguiente artículo:

Fukui, Kazuhiko. "Homologías del grupo $\mathrm{Diff}^\infty (\textbf{R}^n, 0)$ y sus subgrupos". Revista de Matemáticas de la Universidad de Kioto 20, no. 3 (1980): 475-487.