Número de raíces comunes de $x^3 + 2 x^2 +2x +1 = 0$ et $x^{200} + x^{130} + 1 = 0 $

Question

Las ecuaciones $x^3 + 2 x^2 +2x +1 = 0$ et $x^{200} + x^{130} + 1 = 0 $ tienen

1. exactamente una raíz común;
2. ninguna raíz común;
3. exactamente tres raíces comunes;
4. exactamente dos raíces comunes.

He factorizado la primera ecuación. Creo que las raíces son $-1$ , $\omega$ et $\omega^2$ .

Answer 1

$$x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1)$$

Las raíces son $-1,\omega,$ et $\omega^2$ , donde $\omega,\omega^2$ son raíces cúbicas no reales de la unidad.

Sustituyendo en la otra ecuación, $$(-1)^{200}+(-1)^{130}+1=1\ne0$$ $$\omega^{200}+\omega^{130}+1=\omega^2+\omega+1=0$$ $$(\omega^2)^{200}+(\omega^2)^{130}+1=\omega+\omega^2+1=0$$

Por lo tanto, dos raíces son comunes.

Answer 2

$\gcd (x^3 + 2 x^2 +2x +1 , x^{200} + x^{130} + 1 ) = x^2+x+1$ así que dos raíces.

Ten en cuenta que no necesitas conocer las dos raíces, sólo que el gcd tiene grado $2$ y es coprima con su derivada (por lo que no hay raíces repetidas).