$Y=$ { $(x_j/j):(x_j)\in l_\infty$ }. ¿Es Y cerrado en $l_\infty$ ?

Question

Sea $Y=$ { $(x_j/j):(x_j)\in l_\infty$ }. ¿Es Y cerrado en $l_\infty$ ?

(No he podido encontrar ninguna secuencia en Y que tienda a algún punto fuera de Y. Por favor, dar alguna pista para tal tipo de secuencia o cualquier otra pista / maneras).

Answer 1

No, no está cerrado.

Considere $$ y_j=\frac1{\sqrt{j}}, \quad (y_j)\in\ell^\infty. $$

Es fácil ver que $(y_j)\not\in Y$ .

Ahora defina $(x_j^n)$ vía $$ x_j^n = y_j \cdot \mathbb 1_{j\leq n} $$

Entonces $(x_j^n)\in Y$ y $\| (x_j^n)- (y_j)\|_{\ell^\infty} \leq \frac1{\sqrt{n}}$ .