Probar que un polinomio es irreducible sobre un campo

Question

¿Cuál es la estrategia general para demostrar que un polinomio en particular es irreducible sobre un campo?

Por ejemplo, ¿cómo puedo mostrar $x^4 - 10x^2 -19$ es irreducible sobre $ \mathbb Q$ ?

Answer 1

Cuando un polinomio tiene valor entero, se puede apelar al lema de Gauss que dice que si los coeficientes de un polinomio no constante $f$ son relativamente primos y $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[X],$ entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X].$

Esto permite utilizar la estructura de $\mathbb{Z}[X]$ que es más rica que la de $\mathbb{Q}[X]$ para demostrar la irreductibilidad. Por ejemplo, para cada primo $p$ hay un mapa de reducción de $\mathbb{Z}[X]$ a $\mathbb{F}_p[X].$ Si la reducción de $f$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p[X]$ entonces $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[X].$

Tenga en cuenta que para su polinomio, $x^4 - 10x^2 - 19 \mod 3$ es irreducible en $\mathbb{F}_3[X].$ Por lo tanto, $x^4 - 10x^2 - 19$ es irreducible en $\mathbb{Z}[X].$

Answer 2

No existe una "estrategia general" que funcione para todos los polinomios y campos, pero hay varios resultados útiles que se pueden encontrar aquí .

Answer 3

Supongamos que $p$ es un polinomio de cuarto grado que no es irreducible. Entonces $p$ contiene un factor lineal o un factor cuadrático.

En tu caso puedes comprobar fácilmente mediante la fórmula abc que $p$ no tiene un factor lineal, es decir, no tiene una raíz situada en $\mathbf{Q}$ .

Por lo tanto, ahora hay que pensar en por qué $p$ no tiene un factor cuadrático. Se podría hacer esto con fuerza bruta, es decir, escribir $p = (a+bx+x^2)(d+ex+x^2)$ y llegar a una contradicción. (Esto solía ser $(a+bx+cx^2)(d+ex+fx^2)$ , pero como señala lhf está claro que se puede asumir que $c=f=1$ .)

Más fácil sería aplicar uno de los métodos mencionados por Ragib Zaman.