Un teorema de la teoría de Morse

Question

Si $M$ es una variedad suave en la que existe una función suave $f:M \to ( - 1,2)$ de manera que todos los $[0,1]$ son valores regulares de $f$ y ${f^{ - 1}}(s)$ es un conjunto compacto para todo $s \in [0,1]$ entonces es ${f^{ - 1}}([0,1])$ un conjunto compacto en $M$ ?

Como sabemos, si asumimos ${f^{ - 1}}([0,1])$ sea un conjunto compacto en $M$ como condición, entonces según un teorema de la teoría de Morse, ${f^{ - 1}}(0)$ y ${f^{ - 1}}(1)$ son difeomorfos. Esta demostración consiste en construir un campo vectorial y utilizar las curvas integrales relacionadas con ese campo. La parte crucial es que como ${f^{ - 1}}([0,1])$ es compacto, siempre podemos construir un vector con soporte compacto, por lo que las curvas integrales son completas. De esta manera se puede definir sin problema el difeomorfismo determinado.

Sorprendentemente, con las mismas condiciones del primer párrafo, ${f^{ - 1}}(0)$ y ${f^{ - 1}}(1)$ parecen seguir siendo difeomórficos. Sin embargo, el mismo método, es decir (construir el campo vectorial), no se puede aplicar a esta situación fácilmente ya que el dominio de las curvas integrales está determinado por ${M_t} = {f^{ - 1}}(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} (t \in [0,1])$ no necesariamente uniforme. La deficiencia puede ser superada probando ${f^{ - 1}}([0,1])$ es un conjunto compacto, aquí es donde me quedé atascado, o construyendo las curvas integrales de forma más intrincada

Answer 1

No creo que la afirmación sobre la que preguntas al principio de tu mensaje sea cierta. Supongamos que $(M_0, g)$ es una variedad compacta y lisa de Riemann, un círculo unidimensional es suficiente. Definir $$ M = M_0 \times (-1,2) \cup M_0 \times (-1,1/2)$$ (unión disjunta de productos cartesianos) con la métrica $g_M$ definido trivialmente en el primer factor: $$g_M((v,t),(w,s)) = g(v,w) + st$$ y como $$g_M((v,t),(w,s))=\lambda(p,z) g(v,w) + st$$ en el segundo factor. Aquí, $(p,z) \in M_0 \times (-1,1/2)$ , $v, w \in T_p M_0$ y $s,t \in T_z (-1, 1/2)$ Elija $\lambda$ tal que el diámetro de $(M_0\times (z))$ tiende a $ \infty$ como $z\rightarrow 1/2$ . Para el segundo factor, piense en algo como el gráfico de $1/(1-|(x,y)|)$ fuera de una bola suficientemente grande.

Ahora defina $f$ simplemente como la función de altura, $f(p, z) = z$ .

$M$ es suave, $f$ es suave, $f^{-1}(s)$ es compacto para cada $s\in [0, 1]$ y cada punto de la imagen es un valor regular. $f^{-1} ([0,1]) $ es probablemente incluso una variedad completa de Riemann.

Este ejemplo claramente no será válido si se exige la conectividad. ¿Es su $M$ ¿conectados?

Editar: conexión de $M$ no invalida el contraejemplo, los dos componentes del ejemplo anterior pueden pegarse suavemente por debajo del $0$ nivel. Una extensión de $f$ tendrá entonces puntos críticos por debajo del $0$ nivel, sin embargo. Esto no está excluido por la suposición de la pregunta original, por lo que sigue siendo un contraejemplo válido.

Nota: para este ejemplo, $f^{-1}(0)$ y $f^{-1}(1)$ son obviamente no difeomorfo.