Estoy atrapado entre dos posibilidades para un grupo de Galois de una extensión, y yo podría utilizar una sugerencia sobre cómo decidir.
En primer lugar se considera el grupo de Galois de la división de campo de la $h(X) = X^3 + 3X + \sqrt 3\in \mathbb Q(\sqrt3)[X]$ $\mathbb Q(\sqrt 3)$ ($h$ es el primer y seperable es fácil de ver). Observar que si $\alpha$ es una raíz de $h$, entonces el polinomio mínimo de a$\alpha$$f(X) = X^6 - 6X^4 + 9X^2 - 3$, lo que significa que $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q] = 6$. El discriminante de $h$$\Delta(h) = 27 = (3\sqrt3)^2$, es decir, un cuadrado de $\mathbb Q(\sqrt3)$. Por multiplicativity de grado, esto obliga a $\operatorname{Gal}(h/\mathbb Q(\sqrt 3))\simeq C_3$.
La última parte, de hecho, significa que el $\mathbb Q(\alpha)/\mathbb Q(\sqrt 3)$ es de Galois, que en este caso (no en general) implica que $\mathbb Q(\alpha)/\mathbb Q$ es de Galois (en ambos casos la condición de que las necesidades de la comprobación de la normalidad).
El objetivo es calcular el $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\alpha)/\mathbb Q)$.
Una observación es que el grupo de Galois de la Galoisian cierre de $\mathbb Q(\alpha^2)/\mathbb Q$$C_3$, que, puesto que ya sabemos $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q] = 6$, significa que $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\alpha)/\mathbb Q(\alpha^2))\simeq C_2$.
Así que hay un subgrupo de orden $2$, y un subgrupo de orden $3$. Si hay más subgrupos de orden $2$, el grupo en el que estamos tratando de calcular es $S_3$. Si no, es $C_6$. Esta es una práctica de las preguntas del examen, lo que significa que debe haber algo que yo pueda hacer que no sólo carga hasta el Arce y el cálculo de raíces (que yo podría hacer desde $X^6 - 6X^4 + 9X^2 - 3 = (X^3 + 3X + \sqrt 3)(X^3 + 3X - \sqrt 3)$). Sin embargo se que no viene a mí.
