Resolver una dimensonal PDE

Question

He resolver mi PDE. Pero sólo quiero comprobar mi respuesta porque no estoy seguro de si im correcto o incorrecto. Entonces, ¿podría usted ayudarme ??

PREGUNTA :

Dada la PDE : $U_{xx}=(1/k)(U_{t})$

BCs : $U_{x}(0,t)=0$, $U_{x}(N,t)=0$

IC: $U(x,0)$=x

Suponiendo que sólo el uso de la separación de valor constante, $-p^2$

Mi Solución:

La solución de mi PDE usando separación de variables conseguí

$$\frac{X''(x)}{X(x)}=(\frac{1}{k})(\frac{T'(t)}{T(t)})=-p^2$$

La solución de este que tengo :

$X(x)=Acospx+Bsinpx$

$T(t)=Ce^{-kp^2t}$

Paso 2 : Aplicar BCs

$U_{x}(0,t)=0$,

$U_{x}(N,t)=0$,

Llegué $X'(0)=0$ $X'(N)=0$

Entonces yo llegué a B=0 y p=($\frac{n\pi}{N}$)

Subsituting en la ecuación:

$X(x)$=$Acos(\frac{nx\pi}{N})$

$T(t)$=$Ce^{-k\frac{(n\pi)^2}{N^2}t}$

Así $U(x,t)=$$\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}cos(\frac{nx\pi}{N})e^{-k\frac{(n\pi)^2}{N^2}t}$

Y la aplicación de la IC y de la Serie de Fourier tengo $B_{n}=\frac{2N}{\pi^2n^2}$[$(-1)^n-1$]

Así es mi respuesta para la PDE y $B_{n}$ correcto???

Answer 1

@Maxwell: creo que hiciste un gran trabajo aquí. Sólo una cosa viene a la mente: ¿Qué pasó con el término de $n=0$? No desaparece:

$$\begin{align} \lim{n \rightarrow 0} \frac{1-(-1)^n}{\pi^2 n^2} &= \lim{n \rightarrow 0} \frac{1-\cos{\pi n}}{\pi^2 n^2} \ &= \frac{1}{2} \end{align} $$