¿Hay una forma habitual de expresar el concepto de puntos fijos en la teoría de la categoría? ¿Qué se dice expresar que un morfismo tiene un punto fijo? ¡Gracias!
Respuestas
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Un punto fijo es una solución a la ecuación de $x = f(x)$. La forma usual para codificar las ecuaciones es como ecualizadores.
Dado un objeto $A$ y un endomorphisme $f : A \to A$, podemos definir «el subobjeto $B \mapsto A$ fijada $f$» que el ecualizador de $f$ y el morfismo identidad. Este subobjeto tiene la propiedad universal que si $g : C \to A$ es cualquier morfismo con $fg = g$, entonces $g$ factores únicamente a través de $B$. (es decir, nosotros podemos factor $g$ como $C \to B \to A$)
Jeff
Puntos
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Es más interesante para preguntar si un endofunctor tiene un punto fijo. Uno distingue entre menos puntos fijos y más grande de puntos fijos. Por ejemplo, la unidad de intervalo es el más grande de bipointed topológica del espacio con un "auto-similitud" $I = I \vee I$, y el conjunto de los números naturales es el menor conjunto con $\mathbb{N} = 1 + \mathbb{N}$, el conjunto de árboles binarios es el menor conjunto con $T=1+T^2$. Para más información, referencias y más ejemplos, consulte:
- Tom Leinster, universal espacio de Banach
- Andreas Blass, Siete Árboles en Uno
- nlab, álgebra Inicial de un endofunctor
- nlab, Terminal coalgebra de un endofunctor
- nlab, Coalgebra para el intervalo real
