Aplicación de los teoremas de Sylow en grupos de orden $p^2q$

Question

Estoy tratando de mostrar que cualquier grupo de orden $p^2q$ tiene normalmente un subgrupo de Sylow donde $p$ $q$ son distintos de los números primos.

En el caso de $p>q$ no tengo problema.. Por Sylow $n_p|q$, lo $n_p$ es $1$ o $q$. Pero también tenemos $n_p\equiv1\mod p$ lo que descarta $q$. Así, en el caso $p>q$, $n_p=1$ y el único p-subgrupo de Sylow es normal.

En el caso de $p<q$ sin embargo, me encuentro con un problema.. de Nuevo tenemos $n_q|p^2$ (por lo $n_q\in{1,p,p^2}$). De nuevo, la condición de $n_q\equiv1\mod q$ normas $p$. Ahora estoy tratando de descartar el caso de $n_q=p^2$: Suponga $n_q=p^2$. A continuación, $p^2\equiv1\mod q\implies (p+1)(p-1)\equiv0\mod q\implies q$ debe dividir $(p+1)$ desde $p<q$ $q$ prime. Pero desde $p<q$ $q|(p+1)$ ver $q=p+1$. Para los primos de esto sólo sucede cuando se $p=2, q=3$.

¿Significa esto que tengo que consultar a los grupos de orden $2^2\cdot3=12$ o no me pierda de algo a lo largo de la manera que me permite concluir $n_q\neq p^2$, por lo que el $n_q=1$.

Answer 1

He aquí otro enfoque: supongamos $n_q=p^2$. El $p^2$ $q$-Sylows cada uno tiene $q-1$ nonidentity elementos, y desde que un grupo de primer orden es generada por cualquiera de sus nonidentity elementos, estos conjuntos son disjuntos. Así que nuestro grupo ha $p^2(q-1)$ elementos de orden $q$, y tan sólo $p^2$ elementos de cualquier otro orden. Hay, pues, sólo hay lugar para uno $p$-Sylow, que es lo normal.

Este possibiity no en el hecho de ocurrir: $A_4$ tiene orden de 12, tiene el grupo de Klein como una normal $2$-Sylow, y todos los $8$ otros elementos se $3$-ciclos.

Answer 2

Todo lo que has escrito parece ser correcta. Pero no necesariamente tienen que conocer a los grupos de orden $12$.

Para finalizar preguntas como esta, muchas veces es útil contar elementos. Aquí, si un grupo de orden $12$ tiene más de un Sylow $3$-subgrupo luego hay cuatro, y estos se cruzan trivialmente. Si usted retire los elementos de plazo, $3$ desde el grupo, pues no queda mucho!