¿Cómo calcular una ecuación de una parcela?

Question

Estoy tratando de averiguar las ecuaciones $y=f(x)$ de la red de líneas discontinuas en este log-lineal de la gráfica donde la $x$ valores se trazan en una escala logarítmica, mientras que el $y$ de los valores se mantuvieron lineal.

Traté de averiguar a partir de la tabla por debajo de la cual reveló una serie geométrica a partir de la tercera $X$ valor (i.e $x=25$).

Cualquier idea o sugerencia será muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

En log-lineal de las parcelas de la variable independiente se representa en una escala logarítmica y la variable dependiente en una escala lineal. Por lo que la ecuación que relaciona las dos variables es de la forma general

$$ y=m\log x +b \tag{1}$$

La pendiente $m$ puede ser encontrado mediante la selección de dos pares de coordenadas $(x_1,y_1),\,(x_2,y_2)$ a partir de la gráfica de la recta de regresión.

$$ m=\dfrac{y_2-y_1}{\log x_2-\log x_1} \tag{2}$$

Habiendo calculado el valor de $m$ uno puede usar este valor junto con cualquiera de los dos pares de coordenadas para calcular el valor de $b$ usando

$$ b=y_1-m\log x_1 \tag{3}$$

En este caso en particular podemos elegir un par de coordenadas de la gráfica. Estos dos pares de coordenadas son mis estimaciones a partir de la observación de la gráfica.: $(5,1),\,(50,1.4)$

Sustituyendo en la ecuación $(2)$ da

$$ m=\dfrac{1.4-1.0}{\log50-\log5}=0.4 $$

Entonces podemos usar el punto de $(5,1)$ y la pendiente $m=0.4$ en la ecuación de $(3)$ a calcular $b$.

$$ b=1-0.4\log5=0.72 $$

Sustituyendo en la ecuación $(1)$ rendimientos

$$ y=0.4\log x+0.72 $$

que debe ser aproximado de la gráfica de la recta de regresión.

Para el segundo conjunto de datos de este enfoque le da a la línea de regresión

$$ y=0.64\log x+0.55$$

Answer 2

Para calcular los coeficientes $a$$b$, es sólo una cuestión de resolver un sistema de ecuaciones simple; tomar dos puntos al azar sobre sus datos, y un enchufe en la ecuación de $y = a + b \log x$. Así que asumir que cuando los $x = 5$, $y=1$ e al$x=10$, $y = 1.1$ (no sé si estos son los números reales, pero que en realidad no importa). A continuación, la línea pasa por el punto de $(5,1)$$(10,1.1)$. Esto significa que tiene que llevar a cabo que

$$1 = a + b \log 5$$ $$1.1 = a + b \log 10$$

Usted puede resolver este sistema de ecuaciones (por ejemplo, mediante la sustracción de la primera de la segunda) para obtener:

$$b \log 2 = 0.1 \implies b = \frac {0.1}{\log 2}$$ $$a = 1 - 0.1 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$$

Por lo que su ecuación sería

$$y = 1 - 0.1 \cdot \frac{\log 5}{\log 2} + 0.1 \frac{\log x}{\log 2}$$

A continuación, puede ver si para el otro par de valores de $(x,y)$ que usted tiene, esta fórmula funciona (si la función es lineal y no cometer errores, va a trabajar).

Permítanme señalar que a pesar de que nos hizo el (gran) suposición de que la función es lineal; es probable, pero a partir de la gráfica no podemos concluir nada definitivo.