Reemplazar dos tapones cruzados por un mango

Question

Para una superficie no orientable, podemos reemplazar un mango por dos tapones cruzados. ¿Podemos hacer lo contrario, es decir, reemplazar dos tapones cruzados por un asa?

¡Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Este es el teorema de Dyck.

Debe tener una tercera cubierta cruzada disponible, o tenga cuidado de usar un mango cruzado (es decir, una botella de Klein). De lo contrario, sería capaz de convertir una esfera con dos crucetas (que no es orientable) en un toro (que es orientable).

Answer 2

La respuesta corta es sí, usted puede hacer eso. Básicamente, usted puede mostrar que $$\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\cong \mathbb{T}\#\mathbb{RP}^2.$$ This is a homeomorphism, hence reversible. This relates to your question since $\mathbb{RP}^2$ is a cross-cap, $\mathbb{T}$ is a torus (handle in your terminology) and every nonorientable compact surface has $\mathbb{RP}^2$ como conectar sumando.

De hecho, usualmente se utiliza esta dirección opuesta a la de demostrar que la clasificación de las superficies. El uso de diversas técnicas que muestran una superficie debe ser una conectarse suma de un cierto número de copias de $\mathbb{T}$$\mathbb{RP}^2$, y, a continuación, utiliza el hecho de que la presencia de una sola $\mathbb{RP}^2$ le permite convertir todos los $\mathbb{T}$'s en parejas de la cruz-caps, mostrando todas las compactas nonorientable superficie es de conectar suma de un cierto número de cross-cap.