¿Por qué el sujetador y el ket pueden variar independientemente?

Question

Dado un funcional que depende de una función (ket), y su conjugado complejo (bra), por ejemplo $$F[\varphi] = \langle \varphi|\hat{F}|\varphi\rangle = \int \varphi^{*}(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} $$ Me han dicho que podemos variar el sujetador y el ket de forma independiente, es decir, la primera variación de $F$ en el sujetador viene dado por $$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$$ y no $$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} (\varphi(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r})) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$$ como era de esperar.

Si lo anterior es correcto, ¿cómo se puede demostrar que el sujetador y el ket pueden variar independientemente?

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con "bras" o "kets" y más con la observación elemental de que un número complejo tiene dos grados de libertad reales, y que las derivadas son con respecto a un grado de libertad real.

El $\frac{\partial}{\partial\phi}$ y $\frac{\partial}{\partial\phi^\ast}$ son los Derivados de Wirtinger que, en particular, cumplen $\frac{\partial\phi^\ast}{\partial\phi} = 0$ es decir, la derivada de algo con respecto a su conjugado es cero.

Esto se generaliza naturalmente a las derivadas funcionales con respecto a una función compleja.