Problema:
Dos jugadores a y B están jugando a la serpiente y la escalera. Una es en el 99 y que tiene de 1 a ganar en el rodar de los dados. Sin embargo, él siempre puede volver a tirar los dados si 6 aparece.
¿Cuál es la probabilidad de que Un ganará finalmente, antes de B se presenta una oportunidad, si la probabilidad de obtener 1 en el $r^{th}$ tiro es $\frac{1}{3^r}$ y que de llegar a 6 en el $r^{th}$ tiro es $\frac{2r-1}{4r}$?
Mi intento:
Sabemos que Una puede ganar antes de B se presenta una oportunidad única si tira {$1$},{$6$,$1$},{$6$,$6$,$1$} y así sucesivamente.
En el $r^{th}$ su vez, tenemos la probabilidad: $$\frac{1}{3^r}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{8}\cdot\cdot\cdot\frac{2r-3}{4(r-1)}$$
$$=\frac{1}{3^r}\cdot\frac{1}{4^{r-1}}\left(\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot\cdot\cdot(2r-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\cdot\cdot(r-1)}\right)$$
$$=\frac{1}{3^r}\cdot\frac{1}{4^{r-1}}\left(\frac{(2r-2)!}{(r-1)!\cdot(r-1)!\cdot2^{r-1}}\right)$$
$$=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{24^{r-1}}\left(\frac{(2r-2)!}{(r-1)!\cdot(r-1)!}\right)$$
Por lo tanto, tenemos la probabilidad como
$$\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{3}\cdot\binom{2r-2}{r-1} \frac{1}{24^{r-1}}$$
Tomando $r-1$=$n$
$$\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} \frac{1}{24^{n}}$$
Me atoré en el último paso, porque no sé cómo evaluar que la recapitulación. Alguna ayuda con el resumen/proporcionar una forma alternativa para resolver esta cuestión será apreciado.
