Clases de homotopía de mapas desde el plano proyectivo a $S^1 \times S^3$

Question

Tengo una pregunta cualitativa pasada aquí: caracterice el espacio$[(\mathbb{RP}^2,x),(S^1 \times S^3,y)]$ de las clases de mapas homotopy de$(\mathbb{RP}^2,x)$ a$(S^1 \times S^3,y)$, donde aquí$x \in \mathbb{RP}^2$ y$y \in S^1 \times S^3$ son puntos base .

En los casos en que estamos considerando clases de mapas homotopy en$S^1$, he usado la relación$[X,S^1] = H^1(X;\mathbb{Z})$ cuando$X$ es homotopy equivalente a un complejo CW. ¿Hay una relación similar en este caso? Si es así, ¿tiene que ver con cambiar los coeficientes?

¡Gracias de antemano por tu ayuda!

Answer 1

Por aproximación de celular, la imagen de cualquier mapa $\Bbb RP^2 \to S^1 \times S^3$ se encuentra en una copia de $S^1$ en $S^1 \times S^3$. Ahora uso cubriendo espacios para demostrar que cualquier mapa $\Bbb RP^2 \to S^1$ es nullhomotopic.