Intuición para la explosión y el álgebra de Rees

Question

Partiendo de una comprensión informal de la ampliación como la sustitución de un subesquema por las posibles direcciones hacia él (o alguna formulación más precisa de esto), ¿cómo se justifica la definición de la ampliación de $X$ a lo largo de $Y$ mediante la fórmula

$$ \mathrm{Bl}_Y(X) = \mathbf{Proj} \left( \mathrm{Rees}(\mathcal{I}) \right ) = \mathbf{Proj} \left ( \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I} \oplus \mathcal{I}^2 \oplus \cdots\right )?$$

Aquí $\mathcal{I}$ es la gavilla ideal que define $Y$ en $X$ (con las condiciones apropiadas según sea necesario).

No estoy acostumbrado a pensar en lo que $\mathbf{Proj}$ aunque cosas como $ \mathbf{Proj}\left ( \mathrm{Sym} \left ( (\mathcal{O}_S^{n+1})^\vee \right )\right ) = \mathbb{P}^n_S$ son, obviamente, bastante intuitivos.

¿Qué ocurre si considero en cambio $ \mathbf{Proj}\left ( \mathrm{Sym}(\mathcal{I} ) \right )$ ? ¿Se trata de un objeto afín, y cuál es su interpretación geométrica? (En algunos ejemplos sencillos están estrechamente relacionados, como en el caso de la explosión del plano en el origen donde $\mathrm{Sym}(\mathcal{I}) = \mathrm{Rees}(\mathcal{I})$ (véanse los comentarios a la respuesta de rattle).

(Soy consciente de la propiedad universal de las explosiones donde esta descripción encaja con bastante facilidad, aunque mi comprensión de $\mathbf{Proj}$ me falta lo suficiente para entenderlo bien; pero esa no es realmente la pregunta que estoy haciendo).

Answer 1

Tenía exactamente la misma pregunta sobre cómo tomar el álgebra de Rees o simétrica de un ideal daría lugar a construcciones geométricas diferentes, y no estaba satisfecho con la respuesta de rattle. Pensé que podría compartir mis conclusiones al respecto.

La diferencia esencial entre las dos es la siguiente : el álgebra de Rees corresponde a lo que se llama el cono normal es decir, el "conjunto" de todas las direcciones normales a través del subesquema, mientras que si se considera el álgebra simétrica se obtiene haz normal es decir, el espacio vectorial generado por todas las direcciones normales. Véase la discusión del cono tangente en wikipedia : http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_cone .

Ahora siempre tenemos una suryección $\mathrm{Sym}(\mathcal{I}) \to \mathrm{Rees}(\mathcal{I})$ que inducen una inmersión canónica cerrada del cono en el haz, lo cual es bastante intuitivo. Obsérvese que en el caso de un esquema suave, las direcciones normales ya forman un espacio vectorial, por lo que ambas álgebras coincidirán, como menciona sonajero en su respuesta.

De ahí que la razón por la que definimos el blow-up mediante el álgebra de Rees es que realmente queremos sustituir el subesquema cerrado por todas las direcciones normales que lo atraviesan, y no por cualquier espacio vectorial que generaran, como habríamos hecho con el álgebra simétrica.

Answer 2

Probablemente sólo pueda satisfacer tu intuición cuando estemos explotando un no-singular $k$ -variedad $X$ en una subvariedad no singular $Y$ . En este caso, el teorema 8.24 del capítulo II del libro de Hartshorne muestra que el divisor excepcional de la explosión es en realidad $\mathbb{Proj}(\mathrm{Sym}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2))$ y $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ es la gavilla conormal de $Y$ en $X$ . Por lo tanto, sustituimos realmente $Y$ por todas las direcciones posibles a través de él.

Tenga en cuenta que $\mathbb{Proj}(\mathrm{Sym}(\mathcal{I}))$ no suele tener sentido, ya que $\mathcal{I}$ sólo puede ser localmente libre si define algo en codimensión uno. En ese caso, será lo mismo que el blow-up, es decir, lo mismo que $X$ - no estás cambiando nada.