¿Cuál es la diferencia entre $T^\mu{}_\nu$ y $T_\nu{}^\mu$ ?

Question

Entiendo que el orden horizontal importa para los índices en la misma posición vertical, por ejemplo:

$$T\left(V_{(1)},V_{(2)}\right) = T_\color{red}{\mu\nu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} \neq T_\color{red}{\nu\mu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} = T\left(V_{(2)},V_{(1)}\right)$$

Pero no entiendo por qué $T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ en general. A mi modo de ver, ambos son mapas lineales desde un vector y un vector dual a $\mathbb{R}$ . El orden horizontal de los índices no debería importar porque la posición vertical ya especifica si se refiere al índice del vector o al índice del vector dual:

$$T(\omega,V) = T^\color{red}\mu{}_\color{red}\nu \omega_\mu V^\nu = T_\color{red}\nu{}^\color{red}\mu \omega_\mu V^\nu = T(\omega,V)$$

Answer 1

$T^\mu{}_\nu$ y $T_\nu{}^\mu$ son ambos mapas de un vector y un vector dual a $\mathbb R$ cierto. Pero no son necesariamente los mismo mapa como los demás.

Matemáticamente, se puede ver esto considerando la diferencia explícitamente:

$$ T^\mu{}_\nu-T_\nu{}^\mu $$

Puedes utilizar la métrica para subir/bajar uno de los índices, como $T^\mu{}_\nu=g_{\rho\nu}T^{\mu\rho}$ . Si haces esto para ambos, obtienes:

$$ T^\mu{}_\nu - T_\nu{}^\mu=g_{\rho\nu}\left(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu}\right)$$

Lo que demuestra que la razón $T^\mu{}_\nu\ne T_\nu{}^\mu$ es lo mismo que por qué $T^{\mu\nu}\ne T^{\nu\mu}$ en general.

Answer 2

La diferencia es $(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu})g_{\rho\nu}$ .