Período de onda del péndulo

Question

Recientemente he visto varios videos que muestran el péndulo efecto de onda. Todos los videos que he encontrado tienen un patrón que se repite cada a $60\mathrm{s}$.

Estoy tratando de averiguar la relación entre el período total de la pauta y la diferencia en longitud entre cada uno de los péndulos.

A partir de la aproximación de ángulo pequeño para el período de un péndulo simple, para cada péndulo con período de $T$ tenemos:

$$T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},$$

Donde $L$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración debida a la gravedad.

Si nos (decir) $n$ péndulos, con longitudes $L,L+d,\dots,L+(n-1)d$, entonces el patrón se repite en un periodo de $t$ cuando todos los de $\frac{t}{L}\in\mathbb{Z}^{*}$, $\frac{t}{L+d}\in\mathbb{Z}^{*}$, $\dots$, $\frac{t}{L+(n-1)d}\in\mathbb{Z}^{*}$. donde $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{N}\cup\{0\}$.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo desarrollar una relación directa entre $t$, $d$ y $L$.

Answer 1

Tomando igualmente espaciados longitudes voluntad de no reproducir el péndulo efecto de onda, simplemente porque es de los períodos que se quieren cumplir commesurability las condiciones, y las longitudes y períodos no están relacionadas linealmente.

Para obtener un péndulo de onda, dicen que usted tiene $N$ pendula con longitudes $l_n$. Entonces, como usted sabe, el $n$th péndulo tendrá un período de $$T_n=2\pi\sqrt{\frac{l_n}{g}}.$$ For the pendulum wave to work you need to prearrange a time $T$ at which all the pendulums come back into step. (Most demonstrations choose $T=60\text{ s}$, but this is not necessary.) For this to happen, $T$ debe ser un número entero de períodos para cada péndulo, así que por lo tanto $$\boxed{nT_n=T.}$$ (Esto supone que estamos usando el número de períodos en el tiempo $T$ al índice de la pendula. Esto no es estrictamente necesario, pero simplifica las cosas, y la gente suele optar por algunas rango relativamente estrecho en $n$.)

Dada la relación anterior entre el$T_n$$l_n$, el commesurability condición lee $$l_n=g\left(\frac{T}{2\pi n}\right)^2$$ en términos de las longitudes $l_n$. Aquí $n$ debe ser un entero con $n\geq1$, pero la mayoría de las manifestaciones $10\lesssim n\lesssim 30$ o así. El uso de muy lento pendula, con baja $n$, significaría que la relación de longitudes entre la primera y la última péndulo saldría bastante grande.

Answer 2

La pregunta es equivalente a la siguiente: dado el estado físico del sistema en el tiempo $t_0$, $S(t_0)$, por lo $T$$S(t_0)=S(t_0+T)$? Que es, por lo $T$ $$S_0(t)=S_0(t+T),$$ $$S_1(t)=S_1(t+T)$$ $$...$$ hold, where $S_i(t)$ is the substate (namely, $\theta$) of the $i$th pendulum? Note that, letting $k=\frac{2 \pi}{\sqrt{g}}$, es sabido que

$$S_0(t)=S_0(t+k \sqrt{L})$$ $$S_1(t)=S_1(t+k \sqrt{L+d})$$ $$S_2(t)=S_2(t+k \sqrt{L+2d})$$ $$...$$

Al $S(t_0)=S(t_0+T)$, todos los substates $S_n(t)=S_n(t+T)$ son pares iguales.

Evidentemente, $k \sqrt{L+id}|T,(i \in [0,n])$ sigue de esto. O bien, dejar que $w=\frac{T}{k}, \sqrt{L+id}|w,$ $(i \in [0,n])$ .

No hay necesariamente una solución para $w$, por ejemplo en el caso de que $L=5, i=0,1, d=2,$ $w=n \sqrt{5}, w=m \sqrt{7}$, lo que daría $\frac{n}{m}=\sqrt{\frac{7}{5}}$,$\text{ rational = irrational}$, una contradicción.

Este no es un resultado extraño. Imaginemos a dos que no interactúan entre planetas que orbitan alrededor del sol con períodos de $\pi$ $e$ años. Al $t=0$, dejar que ellos se alinean de modo que $\theta_1=\theta_2=0$. Dejar ir, y que nunca volverá a alinear a fin de que $\theta_1=\theta_2=0$. Sin embargo, más tarde será aproximadamente alinear a $0$ grados.