En mi clase, no se hace distinción entre,
$$ C_{ab}{}^{b} $$ y $$ C^{b}{}_{ab}. $$ Todo lo que sé, y he leído hasta ahora, es la distinción de covariante y contravariante, forma/vector, etc. etc. Pero, ¿de qué se trata este asunto de la inclinación?
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Sean Bannister
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Cada uno de los índices de un tensor tiene una ordenación particular izquierda-derecha. Este ordenamiento no puede cambiarse a menos que el tensor tenga alguna simetría particular que lo permita (o mejor dicho, que equipare diferentes componentes al intercambiarlos).
Las posiciones arriba-abajo de los índices nos indican si el índice está asociado a la utilización de un vector base (arriba) o de un covector base (abajo) para ese índice para ayudar a extraer el componente. Sea $v$ sea un tensor de un índice. $v^a$ son los componentes asociados a un conjunto de vectores base $e_{(a)}$ y $v_a$ son los componentes asociados a un conjunto de covectores base $e^{(a)}$ . En general, $v_a \neq v^a$ para un sistema de coordenadas arbitrario. Cada índice puede asociarse a vectores base o covectores base, y no es necesario utilizar todos los mismos tipos de elementos base para todos los índices de un tensor.
En un espacio con una métrica, podemos alternar entre el uso de vectores base y covectores base para extraer componentes de los tensores (podemos subir o bajar los índices más o menos a voluntad), por lo que tendemos a asociar todas esas combinaciones de índices arriba-abajo con el mismo objeto inherente. Aun así, que un índice concreto sea ascendente o descendente para una situación determinada depende de lo que sea conveniente o necesario utilizar.
Edición: Así que, estrictamente hablando, escribir un objeto indexado con dos índices alineados uno encima del otro no tiene realmente sentido. Sin embargo, los físicos a menudo hacen esto de todos modos para, como ejemplo, los símbolos de Christoffel - es relativamente raro que se usen de otra manera que no sea como $\Gamma^a_{bc}$ . Sin embargo, cuando se trata del tensor de Riemann o de otros objetos similares, lo mejor es pensar que cada índice ocupa una columna entera: nada más debe estar por encima o por debajo de ese índice, para dejar espacio para que se mueva libremente hacia arriba o hacia abajo cuando se contrae con la métrica.
Una forma fácil de ver que son distintos es considerar lo que ocurre al subir (o bajar) todos los índices.
Por ejemplo, al bajar, $$ T_{ab}{}^{cde} $$ se convierte en $T_{abcde}$ mientras que $$ T_{a}{}^{cd}{}_{b}{}^{e} $$ se convierte en $T_{acdbe}$ , y de forma similar $$ T_{a}{}^{cde}{}_{b} $$ se convierte en $$ T_{acdeb}. $$
Es necesario "inclinar" los índices para mantener el orden correcto al bajar y subir. Por ejemplo, si sólo escribe $T_{ab}^{cde}$ y se baja el índice $c$ , cuál es el tensor correcto: $T_{acb}^{de}$ , $T_{cab}^{de}$ o $T_{abc}^{de}$ ? La notación es ambigua si no se "inclinan" los índices.
