Sé cómo calcular el producto escalar de dos vectores bien. Sin embargo, no está claro para mí qué, exactamente, hace el producto de punto representan.
El producto de dos números, $2$ y $3$, decimos que es $2$ agregado a sí mismo $3$ veces o algo así.
Pero cuando se trata de vectores $\vec{a} \cdot \vec{b}$, no sé qué decir. "Es $\vec{a}$ agregado a sí mismo $\vec{b}$ veces" que no tiene mucho sentido para mí.
El producto escalar dice qué cantidad de un vector va en la dirección de otro. Por ejemplo, si usted sacó una caja de 10 metros en un ángulo inclinado, hay una componente horizontal y vertical de la componente a su vector de fuerza. De modo que el producto escalar en este caso le daría la cantidad de fuerza que va en la dirección del desplazamiento, o en la dirección de que la caja se movió. Esto es importante porque el trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento, pero la fuerza que aquí se define como la fuerza en la dirección del desplazamiento.
Podría ayudar a pensar en la multiplicación de los números reales en una forma más geométrica de la moda. $2$ veces $3$ es la longitud del intervalo que se obtiene a partir con un intervalo de longitud de $3$ y luego se extiende por un factor de $2$.
Para dot producto, además de este estiramiento idea tienes otra idea geométrica, es decir, de la proyección. Imaginar la línea de $L$ paralelo a $\vec b$ a través del origen $O$. Ahora imagine la proyección de la punta del vector de $\vec a$, a lo largo de una línea perpendicular a $L$, hasta golpear $L$ a un punto de $p$. El producto escalar de a $\vec a \cdot \vec b$ es la longitud del segmento de línea que se obtiene al comenzando con el segmento de la línea de $OP$ y luego se extiende el avión por un factor igual a la longitud de $\vec b$.
Estoy siendo un poco descuidado acerca de los signos más y menos, pero esos pueden ser incorporados en esta foto también.
Primero de todo, si escribimos $\vec{a} = a \vec{u}$$b = b \vec{v}$, donde $a$ $b$ son la longitud de $\vec{a}$ $\vec{b}$ respectivamente, entonces $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{u})\cdot (b \vec{v}) = ab \,\, \vec{u} \cdot \vec{v};$$ este es un bonito y natural la propiedad de un producto a tener.
Ahora, como para $\vec{u} \cdot \vec{v}$, esto es igual a $\cos \theta,$ donde $\theta$ es el ángulo entre el$\vec{u}$$\vec{v}$.
Como el Rey de la Ardilla notas, esta es también la longitud de la proyección de la $\vec{u}$ sobre la línea a través de $\vec{v}$, y también la longitud de la proyección de la $\vec{v}$ sobre la línea a través de $\vec{u}$.
Así que en total tenemos
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a b \, \cos \theta,$$ y tiene la interpretación en términos de la proyección de un vector sobre otro que el Rey Ardilla discute.
Cuando las direcciones son considerados, lo que hacemos básicamente es aportar una nueva dimensión a la percepción de la entidad. (Velocidad vs Velocidad: 5 km/h vs 5 km/h hacia el este). Trayendo el sentido de la dirección, surge la cuestión de cómo las entidades interactuar?
En el dot producto, esquemáticamente, lo que encontramos es, esencialmente, el área que se ve afectada por las dos entidades.
Considere La Posibilidad De Tetris. Usted ha construido una fundación ya. Ahora, una nueva parte está cayendo y tiene las teclas de flecha para moverse. Dos competidores vectores, su movimiento y la caída de los ladrillos parte, va a determinar cómo la parte nueva está arreglado. El área cubierta por la caída de la parte que sería determinada por el producto escalar de dichos vectores.
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