Grupo generado por una clase GACION

Question

Deje $G$ ser un grupo, $x \in G$, e $S = \{ x^g \mid g \in G\}$. Supongamos $\langle S \rangle = G$ y $H$ $K$ subgrupos de $G$$S \subseteq H \cup K$. Mostrar que $H=G$ o $K=G$.

Este es un problema de Kurzweil Y Stellmacher de la Teoría de Grupos Finitos. Si dejamos $\langle x \rangle = A$, $G$ es el producto de las distintas conjugados de $A$ en cualquier orden, $G=A_1 A_2 \cdots A_k$, debido a que generan $G$. El uso de este logré mostrar $G=HK$. También se $k≥3$ debido a que un grupo no puede ser el producto de dos adecuada conjugado subgrupos. El cuadro que surge es que desde que uno de $H$, $K$ ha de contener dos distintas $A_i$, de alguna manera que las fuerzas de es para todo el grupo. Por supuesto, esto sólo funciona si el cíclico subgrupos generados por cada individuo generador de $G$ han finito índice, que no está garantizado en este nivel introductorio problema. Sospecho que estoy con vistas a algo simple. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

He corregido la respuesta gracias a Derek Holt.

Podemos suponer que el $x\in H\setminus K$. A continuación, $x^k\in H$ todos los $k\in K$ y, por tanto, $x^{kh}\in H$ todos los $h\in H$. Desde $G=KH$ obtenemos $S\subset H$.

Añadido por Derek Holt: la Prueba de que $G=KH$. Cada elemento de a $G$ se puede escribir como un producto de los conjugados de $x^{\pm 1}$, algunos de los cuales se encuentran en $H$ y algunos en $K$. El uso de $ba = ab^a$, podemos pasar a todos los que en $K$ a la izquierda, sin aumentar la longitud del producto, y terminamos con un producto en $KH$.