¿Cómo encontramos A uno mismo-adjoint y unitaria U tales que exp(iA) = U?

Question

El siguiente es un teorema:

Si $A$ es un uno mismo-adjoint matriz (es decir,$A^\dagger = A$), $U = e^{iA}$ es una matriz unitaria.

Esto es fácil de demostrar: $(e^{iA})^\dagger = e^{-iA^\dagger} = e^{-iA}$, con el último paso de una consecuencia de la auto-adjointness de $A$. Puesto que los poderes de las matrices que conmutan con a sí mismos, $e^{iA}$ viajes con $e^{-iA}$, y así podemos escribir $e^{iA}e^{-iA}=e^{iA-iA}=e^{0}=I$ donde $I$ es la matriz identidad. Esto demuestra que $(e^{iA})^{-1}=(e^{iA})^\dagger$, y que, por ende, $e^{iA}$ es unitaria.

Esto es todo bien y bueno. Sin embargo, los siguientes (a la inversa) es no un teorema:

Si $U$ es una matriz unitaria, entonces el (?) matriz $A$ definido por $e^{iA} = U$ es auto-adjunto.

Me han llevado a creer que la mejor manera de refutar esto es por contraejemplo, pero no tengo idea de cómo construir un no-uno mismo-adjoint matriz $A$ que $e^{iA}$ es todavía unitaria.

Una explícita contraejemplo sería genial, sino un método para averiguar cómo encontrar un contraejemplo sería aún beter.

Answer 1

$U$ es unitaria, por lo tanto diagonalisable. Por eso, $A$ debe ser diagonalisable demasiado, porque la matriz de exponenciales de trivial Jordania bloques no son diagonalisable. Deje $A=PDP^{-1}$ ser un eigendecomposition. Se desprende de lo $U=e^{iA}$ que las entradas de la diagonal de a $D$ debe ser real. Por lo tanto $e^{iD}$ es una unidad de la diagonal de la matriz.

Pero, a continuación, $e^{iA}=Pe^{iD}P^{-1}$ en general, no es unitaria. Para hacer $e^{iA}$ unitario sin el uso de un unitario $P$, una buena manera es hacer $e^{iD}=I$, por lo que el $U=e^{iA}=Pe^{iD}P^{-1}=I$ para todas las opciones de $P$. Sin embargo, $D$ no puede ser un escalar varios de $I$, de lo contrario $A$ sería un escalar varios de $I$, que es Hermitian. Por lo tanto, $D$ debe ser elegido de manera que las entradas de su diagonal son diferentes múltiplos enteros de $2\pi$. Para tales elecciones, prácticamente casi todos los elegidos aleatoriamente $P$ hacer $A=PDP^{-1}$ se convierten en no-Hermitian. Por ejemplo, $$ A=\pmatrix{1&1\\ 0&1}\pmatrix{2\pi&0\\ 0&0}\pmatrix{1&1\\ 0&1}^{-1} =\pmatrix{2\pi&-2\pi\\ 0&0}\ \Rightarrow\ e^{iA}=I. $$