Integración y diferenciación

Question

Mientras aprendíamos Cálculo en las clases de matemáticas de la universidad, nos decían que:
La diferenciación y la integración son opuestas o complementarias entre sí....(1) La diferenciación es la tangente a la curva dada ....(2) y la integración es el área bajo la curva....(3)

Ahora mi pregunta es: De (1), (2) y (3) anteriores, ¿qué es complementario u opuesto en Tangente a la curva y Área bajo la curva?

Answer 1

En términos muy generales, la integración y la diferenciación son complementarias en el siguiente sentido (Teorema fundamental del cálculo). Dada una función continua $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ definir $F(t)=\int _a^tf(x)dx$ . Entonces $F'(x)=f(x)$ es válida para todos los $x\in [a,b]$ . Dicho de otro modo, si $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ es diferenciable entonces $\int _a^bF'(x)dx=F(b)-F(a)$ . Así que, en cierto sentido, la integral de la derivada es la función original y, en cierto sentido, la derivada de la integral es la función original.

Esto es lo que se suele querer decir en los cursos de cálculo cuando se dice que la derivada y la integral son complementarias. Hay una buena interpretación geométrica de este teorema (y su demostración) que considera la relación entre el área bajo la curva y las pendientes de la curva.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta felicitación debe tomarse con un grano de sal. La derivada de una función es, si existe, una única función, mientras que la integral indefinida de una función, si existe, es toda una familia de funciones (por ejemplo, para $f(x)=2x$ la derivada es $f'(x)=2$ mientras que $\int f(x)dx$ es la familia de funciones $x^2+C$ ). En las generalizaciones a dimensiones superiores la interpretación correcta de la derivada en un punto es como una transformación lineal mientras que la integral de Riemann es una generalización directa del notino de área a la noción de volumen. La relación entre las derivadas y las integrales en dimensiones superiores es mucho más sutil y profunda, y culmina en el Teorema de Stokes (preferiblemente utilizando formas diferenciales). En cierto sentido, se puede decir que la complementariedad no se mantiene en dimensiones superiores del mismo modo que en la dimensión 1.

Answer 2

Es más claro si piensas en la derivada como la tasa de cambio instantánea, y en la integral como la suma de todos los pequeños cambios. $f'(t) dt$ es un pequeño cambio en $f$ durante un periodo de tiempo muy corto. Para obtener el cambio total en $f$ a lo largo de un periodo de tiempo prolongado, sumas todos los pequeños cambios:

\begin{equation} f(b) - f(a) = \int_a^b f'(t) \, dt. \end{equation}

En mi opinión, las interpretaciones geométricas de la derivada y la integral (como pendiente de la recta tangente, y área bajo la curva) son sólo secundarias. Lo más básico que hay que saber sobre la derivada es que es la tasa de cambio instantánea; lo más básico que hay que saber sobre la integración es que es una forma de sumar pequeños cambios para obtener el cambio total.