$C$ ser la curva de intersección del hemisferio #% cilindro y $x^2+y^2+z^2=2ax$ #%; evaluar $x^2+y^2=2bx$

Question

$C$ ser la curva de intersección del hemisferio $x^2+y^2+z^2=2ax$ y el % de cilindro $x^2+y^2=2bx$, donde $0****

Answer 1

Hay, al menos, a las maneras en que usted puede parametrizar la curva de $C$.

Método 1. Ya que la curva es el punto de intersección de la esfera y el cilindro, que pertenece al cilindro, que tiene radio de $b$ y es desplazado $b$ unidades a lo largo de la $x$ eje, de modo que podemos escribir: $$ x=b\cos\theta+b, \quad y =b\sin\theta, \quad 0\le \theta \le 2\pi, $$ pero ya que también pertenece a la esfera, se puede escribir $$ z=\sqrt{a^2-y^2-(x-a)^2}=\sqrt{a^2-b\sin\theta)^2-(b\cos\theta+b-a)^2}, $$ que le da una parametrización.

Método 2. El cilindro tiene polares la ecuación de $r(\theta)=2b\cos\theta$, por lo que $$ x=r(\theta)\cos\theta=2b\cos^2\theta, \quad y =2b\cos\theta\sin\theta, \quad\pi/2\le \theta \le \pi/2, $$ y de nuevo $$ z=\sqrt{a^2-y^2-(x-a)^2}=\sqrt{a^2-(2b\cos\theta\sin\theta)^2-(2b\cos^2\theta-a)^2}. $$ Tenga en cuenta la diferencia de las variaciones de $\theta$ en los dos parametrizaciones.

Dicho esto, el teorema de Stokes es probablemente más adecuado para esta pregunta, entonces usted va a necesitar para parametrizar la superficie. Usted podría hacerlo en coordenadas esféricas, pero creo coordenadas cartesianas son el camino a seguir aquí. Tome $x$ $y$ como parámetros y usted tiene: $$ x=x, \quad y=y, \quad z=\sqrt{a^2-y^2-(x-a)^2}, $$ donde $x$ $y$ pertenecen a la proyección del cilindro en el $xy$ plano, es decir, $$ (x,y)\in D:=\{(r,\theta)\;|\; -\pi/2\le \theta \le \pi/2,0\le r\le 2b\cos\theta \} $$ Se sigue por el teorema de Stokes que su integral es igual a $$ \iint_D \nabla\times\vec{F}(x,y)\cdot \vec{r_x}\times \vec{r_y}\; dA, $$ donde $\nabla\times\vec{F}(x,y)$ es el curl de su campo se expresa como un campo, dependiendo únicamente de la $x$$y$. Estoy seguro de que puedes toma cálculos a partir de ahí.