¿Definir un isomorfismo $\theta: \mathbb R^{\mathbb N} \to$ {polinomios} tiene sentido? Hace intuitivamente, pero me preocupa la naturaleza infinita. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si por $\mathbb R^{\mathbb N}$ que significa el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (que es el significado estándar para que la notación), entonces no hay ningún tipo de isomorfismo en $\mathbb R[X]$ (el conjunto de los reales de polinomios en una variable). Los dos espacios vectoriales tienen dimensión diferente -- $\mathbb R^{\mathbb N}$ $2^{\aleph_0}$- dimensional, mientras que $\mathbb R[X]$ solo $\aleph_0$-dimensional.
($\mathbb R[X]$ tiene dimensión $\aleph_0$ debido a que el countably muchos de los polinomios $1$, $X$, $X^2$, $X^3$, ... formar una base. $\mathbb R^{\mathbb N}$ tiene dimensión en la mayoría de las $2^{\aleph_0}$, porque ese es el número de elementos del espacio vectorial. No tengo una mancha argumento de que su dimensión es , al menos, $2^{\aleph_0}$ (pero vea los comentarios donde Arturo le da a uno), pero algo indirectamente: $\mathbb Q^{\mathbb N}$ debe tener dimensión$2^{\aleph_0}$$\mathbb Q$, debido a una base más pequeña que la que no sería capaz de producir suficientes elementos de combinaciones lineales finitas. Así que toma una base para $\mathbb Q^{\mathbb N}$ y un vistazo a los elementos correspondientes de a $\mathbb R^{\mathbb N}$. El conjunto resultante todavía serán linealmente independientes en $\mathbb R^{\mathbb N}$ -- cualquier trivial relación lineal en $\mathbb R^{\mathbb N}$ crear al menos una relación no trivial en $\mathbb Q^{\mathbb N}$, cuando los coeficientes son expandido en las coordenadas bajo una base para $\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$. Por lo tanto, $\mathbb R^{\mathbb N}$ tiene dimensión, al menos,$2^{\aleph_0}$$\mathbb R$).
La (correcta) el subespacio de secuencias donde hay sólo un número finito distinto de cero elementos, a veces anotada $\mathbb R^\infty$ -- es naturalmente isomorfo a $\mathbb R[X]$.
Michael Hardy
Puntos
128804
Piensa acerca de estas:
- el conjunto de secuencias de números reales de la longitud de la $n$
- el conjunto de finitely largas secuencias de números reales
- el conjunto de secuencias infinitas de números reales tales que la suma de sus cuadrados es finito
- el conjunto de todos los infinitamente largas secuencias de números reales
El primero es un finito-dimensional espacio vectorial. Las tres siguientes son de dimensiones infinitas espacios vectoriales. No están todos en el mismo espacio. Cuando usted entiende la diferencia entre ellos, usted está en su camino a la comprensión de dimensiones infinitas espacios vectoriales.
