Surjectivity de una función que asigna tres subconjuntos a su unión

Question

Permita que$E$ sea un conjunto y$A,B,C$ tres subconjuntos de$E$. Considere la función$$f:\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)\times \mathcal{P}(C)\rightarrow \mathcal{P}(E);\; (X,Y,Z)\mapsto X\cup Y\cup Z

Quiero mostrar que si$f$ es surjective, entonces$E\subset A\cup B\cup C$.

Deje$x\in E$ luego el singleton$\{x\}\in \mathcal{P}(E)$ y por surjectivity existe$(X,Y,Z) \in \mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)\times \mathcal{P}(C)$ tal que$X\cup Y\cup Z=\{x\}$ Por lo tanto$X=\{x\}$ o$Y=\{x\}$ o$Z=\{x\}$ entonces $\{x\}\in \mathcal{P}(A)$ o$\{x\}\in \mathcal{P}(B)$ o$\{x\}\in \mathcal{P}(C)$, por lo tanto$x\in A$ o$x\in B$ o$x\in C$ so$x\in A\cup B\cup C$. ¿Es esto correcto? y hay alguna otra manera más simple de hacer esto? ¡¡Gracias por tu ayuda!!

Answer 1

Su prueba es correcta, pero aquí hay un argumento más simple:

Si$f$ es un surjective, entonces$f^{-1}(E)$ no está vacío, entonces hay$A'\subseteq A,B'\subseteq B,C'\subseteq C$ tal que su unión es igual a$E$. En particular,$A\cup B\cup C=E$ también.