Esta pregunta fue provocado por una serie de otros y de la lectura de algunas referencias:
Citado de la última referencia:
EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
Ya hemos visto [ .. ] como los Pitagóricos y más tarde los matemáticos griegos exhiben diferentes tipos de números como formando diferentes figuras geométricas. [ saltar texto ] El producto de dos números así fue representado geométricamente por el rectángulo contenido por las líneas rectas que representan los dos números respectivamente. Sólo necesitaba el descubrimiento de los inconmensurables o irracional líneas rectas con el fin de representar geométricamente por un rectángulo el producto de cualquiera de las dos cantidades cualesquiera, racional o irracional; y fue posible avance de un geométrica aritmética geométrica de álgebra, que de hecho por Euclides del tiempo (y probablemente mucho antes) había alcanzado una etapa de desarrollo que podría resolver los mismos problemas, ya que nuestro álgebra tan lejos como lo hacen no implican la manipulación de expresiones de un grado mayor que el segundo. [ se suprime el resto ]
Como citado en el segundo de referencia:
Descartes comenzó mediante la interpretación de las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división,
y la extracción de raíces cuadradas como construcciones geométricas en las líneas. Él representa a cada uno (positivo) magnitud
por una línea. La suma y la resta, eran los mismos que Euclides. Para agregar dos líneas, sólo se extienden por la longitud
de las otras. Para restar una línea desde el otro, el resto después de cortarla el otro.
La multiplicación y la división, sin embargo, eran diferentes a las de Euclides. Euclides representa el producto de dos líneas
por un rectángulo, el producto de las tres líneas de un cuadro en el espacio, y Euclides no representan el producto de cuatro líneas.
Pero Descartes tomó el producto de dos líneas a otra línea. [el énfasis es mío] Que requiere la selección de una unidad de la línea,
es decir, una línea de longitud de la $1$. A continuación, para encontrar el producto $ab$ de dos cantidades $a$$b$, que él sólo necesitaba encontrar
la cuarta proporcional de $1$, $a$, y $b$.
Aquí es el de la construcción por Descartes (figura de la izquierda):
Después de definir una unidad de OE y de la longitud (= reales) OA y OB, con el fin de definir el producto de la operación, es necesario
para dibujar una línea OP paralelo a la EB.
Por supuesto, hay una relación entre Euclides y Descartes de la construcción: las áreas de OARB y OEQP son iguales.
Cabe señalar sin embargo, que los números negativos son imposibles dentro de Euclides del sistema, mientras que la (Des)Cartesiano
sistema de coordenadas se asegura de que puede ser adecuadamente representado geométricamente.
¿Por qué es negativo veces negativo = positivo?
Descartes Euclidiana Álgebra Geométrica nos da una buena prueba sin palabras :
Las líneas paralelas parecen ser esenciales en todo el lugar, por lo que se requiere de una geometría Euclidiana.
Y no nuestro común signo Igual no solo representan dos paralelas $=$ líneas?
Así que la pregunta es: ¿existe una multiplicación de reales a la de Descartes en un
no-Euclidiana Geométrica de Álgebra?
Es posible duplicar la pregunta, sin respuesta : Geométrico de base para los números reales .
