Proyectores sobre el mismo subespacio pero con diferentes núcleos

Question

Tengo dos proyectores $P, Q$ en el mismo subespacio $L \subset \mathbb{R^n}$ que se definen por sus matrices $n \times n$ . Y se dice que hay tales proyectores que $\ker P \neq \ker Q$

Pero no puedo imaginar tal situación y pensar en tales proyectores. ¿Podría ayudarme, por favor?

Gracias.

Answer 1

Probablemente esté pensando en las proyecciones ortogonales. Tomemos, en el plano, dos proyecciones sobre la recta $y=x$ Una de ellas es la proyección ortogonal, cuyo núcleo es, por supuesto, la línea $y=-x$ perpendicular a $y=x$ y la otra proyección es una proyección sesgada, tomando $(x,y)$ a $(x,x)$ . El núcleo es el $y$ -eje.

Sin embargo, es cierto que una proyección ortogonal está determinada por su imagen, porque entonces el núcleo debe ser el complemento ortogonal.

Answer 2

Toma $n=2$ y las proyecciones dadas por las matrices $\left(\matrix{1 & 0\\ 0 &0}\right)$ y $\left(\matrix{1 & 1\\ 0 &0}\right)$ .

La cuestión es que no todas las proyecciones son proyecciones ortogonales.