Mi libro de texto explica cómo resolver la ecuación de onda:
$$u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$$
Se propone la siguiente solución:
definir las siguientes variables $\zeta, \eta$ y la función $v$: $$\zeta =x+t $$ $$\eta = x-t$$ $$v(\zeta,\eta):=u(x,t)$$
A continuación, se puede derivar que $$u_{xx}=v_{\zeta \zeta}+2v_{\zeta \eta}+v_{\eta \eta}$$ $$u_{tt}=v_{\zeta \zeta}-2v_{\zeta \eta}+v_{\eta \eta}$$
Por lo tanto $$u_{xx}-u_{tt}=4v_{\zeta \eta} \implies v_{\zeta \eta}=0$$ De ahí podemos derivar por la integración de dos veces de que $$v(\zeta, > \eta)=f(\zeta)+g(\eta)\implica que u(x,t) = f(x+t)+g(x-t)$$ para algunos funciones arbitrarias $f$$g$.
Mi quesion es: ¿cómo podríamos haber derivado en que para resolver esto, $\zeta$ $\eta$ debe ser igual a $x+t$ $x-t$ respectivamente? Y ¿cómo sabemos que debemos de utilizar este enfoque en el primer lugar?
Existe un método sistemático para saber que funciones y variables para elegir a resolver este tipo de PDE, debido a que el método parece muy diferente del método de las características que he estado utilizando para la primera orden del PDE.
