Informática

Question

Acabo de leer un post que ha sido puesto en espera. La pregunta era acerca de informática $ \int_} ^ {} \sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x \cdots}}}\, \mathrm{d}x $$ mi intento fue encontrar explícitamente el integrando por lo tanto, introduje la secuencia $$ a1 = 1\ \text {y} \ a{n+1}=\left(xa_n\right)^{1/(n+1)} $ por lo tanto $ $$ a_2 = \sqrt {xa_1} = \sqrt {x}, \ a_3 = \sqrt [3] {xa_2} = \sqrt [3] {x\sqrt {x}} \ \dots $$ pero la corriente se invierte, ¿cómo puedo ffind el % correspondiente $(an){n\in \mathbb{N}}$?

Answer 1

$\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x{...\sqrt[n]{x}}}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}} \cdot... = \displaystyle{x^{\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}}}$.

Que $r = \displaystyle{{\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}}}$. Así $\displaystyle{\int{x^rdx} = \frac{x^{r+1}}{r+1} + \mathcal{C}}$.