¿Por qué utilizamos conjuntos abiertos para la medida exterior?

Question

La definición estándar para la medida exterior de un conjunto de números reales $A$ es:

$$ m*(A) = inf {\Large \{} \sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) \; {\Large |} \; A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k {\Large \}} $$

(como, por ejemplo, en Royden, Real Analysis, 4ª ed., p. 31) donde el $I_k$ deben ser no vacíos, Abrir , intervalos acotados.

Mi pregunta es: ¿Sería lo mismo si en lugar de ello exigiéramos que el $I_k$ son no vacíos, cerrado ¿Intervalos acotados? Parece que debería haber alguna razón por la que la medida interna utiliza conjuntos cerrados y la medida externa utiliza conjuntos abiertos, pero no se me ocurre ningún conjunto de ejemplo $A$ donde $m*(A)$ diferirían de $m**(A)$ definidos exactamente igual que los anteriores, salvo que cada $I_k$ es necesario que se cierre.

Answer 1

Si sustituimos $I_k$ con $\bar I_k$ entonces $l(I_k)=l(\bar I_k).$ Por otro lado, si $ G=\{J_k :k\in N\}$ es un conjunto de intervalos cerrados y acotados con $A\subset \cup G,$ entonces para cualquier $e>0$ podemos cubrir cada $J_k$ con un intervalo abierto acotado $I_k$ con $l(I_k)<e 2^{-k}+l(J_k)$ . Así que $m*=m**$ . Es una cuesti'on de conveniencia. Por ejemplo, con las definiciones habituales de medida exterior $m^o$ y la medida interior $m^i$ es bastante obvio que si $A$ es un intervalo acotado y $B\subset A$ entonces $m^i(B)+m^o(A\backslash B)=l(A)$ .

Answer 2

Puede que tenga que ver con el hecho de que un conjunto abierto es la unión de un número contable de intervalos abiertos y, por tanto, la medida exterior puede definirse como el ínfimo de las medidas de los superconjuntos abiertos, mientras que un conjunto cerrado no es necesariamente la unión de un número contable de intervalos y puntos cerrados (el conjunto de Cantor es un contraejemplo).