¿Si $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=0$, existen puntos $x_0\in[0,1]$ tal que $\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=0$?

Question

Esto es parte de un viejo qual problema en mi escuela.

Suponga $\{f_n\}$ es una secuencia de no negativo de funciones continuas en $[0,1]$ tal que $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=0$. Es necesariamente cierto que hay puntos de $x_0\in[0,1]$ tal que $\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=0$?

Creo que debe haber algún tipo de $x_0$. Mi intuición es que si las integrales convergen a$0$, $f_n$ debe comenzar a ser cercana a cero en la mayoría de los lugares en $[0,1]$. Si $\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\neq 0$ cualquier $x_0$, entonces las secuencias de $\{f_n(x_0)\}$ para cada uno de ellos fijo $x_0$ tener términos positivos arbitrariamente grandes de índice. Dado que sólo hay countably muchas funciones, no creo que sea posible hacer esto sin necesidad de hacer $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=0$.

Hay una prueba o contraejemplo a la pregunta?

Answer 1

Como T. Bongers señala la respuesta es no. Sin embargo, podemos decir que hay una larga $f_{n_k}$ tal que $f_{n_k}(x) \to 0$ para casi todas las $x \in [0,1]$. La declaración de que $\int_0^1 f_n(x)dx \to 0$ exactamente nos dice $f_n \to 0$$L^1$, lo que implica la existencia de un larga que converge a cero en casi todas partes. Ver, por ejemplo, http://terrytao.wordpress.com/2010/10/02/245a-notes-4-modes-of-convergence/ Corolario 3 para la prueba.