Análisis complejo y funciones analíticas

Question

Me cuesta mucho entender los análisis complejos. La tarea consiste en encontrar una función $f$ , dado $z = x + iy$ para que f sea analítica en el plano complejo, de modo que $\mathrm{Re}(f) = x^3 y - x y^3$ .

Intenté comenzar con el método de Cauchy-Riemann y encontré las derivadas parciales de la función $u(x, y)$ pero no tengo ni idea de cómo llegar a la función original $f$ .

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Escribe $f = u+iv$ con funciones de valor real $u,\, v$ . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}; \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.$$

Por lo tanto, con el $u(x,y) = x^3y - xy^3$ el primero produce

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2y - y^3 = \frac{\partial v}{\partial y},$$

y por lo tanto $v(x,y) = \frac{3}{2}x^2y^2 - \frac{1}{4}y^4 + \varphi(x)$ con una función desconocida $\varphi$ . La segunda ecuación de CR da como resultado

$$-\frac{\partial u}{\partial y} = 3xy^2 - x^3 = 3xy^2 + \varphi'(x),$$

por lo que obtenemos $\varphi(x) = -\frac14 x^4 + c$ con una constante (real) desconocida $c$ .

Ensamblaje,

$$v(x,y) = - \frac14x^4 + \frac32 x^2y^2 - \frac14y^4 + c = -\frac14(x^4 - 6x^2y^2 + y^4) + c,$$

así que

$$f(x+iy) = x^3y - xy^3 -\frac{i}{4}(x^4 - 6x^2y^2 + y^4) + ic = \frac{1}{4i}(x+iy)^4 + ic.$$