Si$A \in M_2(\mathbb R)$ no es idéntico con$A^3=I$, entonces$\text{tr}(A)=-1$

Question

Deje $A \in M_2(\mathbb R)$% a$2\times 2$ matriz con coeficiente real, tal que$A \ne I$ y $$A ^ 3 = I$$ Then$\text{tr}(A)=-1$. ¿Qué pasa si consideramos$M_n(\mathbb R)$? ¿La declaración sigue siendo verdadera?

No pude resolverlo, pero tengo una pregunta: ¿podemos decir que$A$ no es singular? De hecho, $$A ^ 3 = I \ Rightarrow AA ^ 2 = A ^ 2A = I \ Leftrightarrow A ^ {- 1} = A ^ 2.$$

¿Es correcto? ¿Cómo podemos probar la declaración?

Answer 1

El polinomio mínimo de$A$ debe dividir$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$; como$A\neq I$ tenemos que el polinomio mínimo de$A$ es$X^2+X+1$ (el grado del polinomio mínimo es menor o igual a$2$). Porque tiene grado$2$, debe ser igual a su polinomio característico, por lo tanto$\operatorname{tr}(A)=-\text{ coefficient of }X=-1$

No creo que sea cierto en general. Por ejemplo, si$n=3$, el polinomio mínimo de$A$ debe ser$X^3-1$ (¿por qué?), Entonces$\operatorname{tr}(A)=0$.

Answer 2

Tienes razón en que es nonsingular. De lo contrario, habría un autovalor cero, por lo que no sería aniquilado por un polinomio con un término constante.

$A$'s mínimo polinomio se divide $x^3-1$, por lo que sus autovalores son todos los terceros raíces de la unidad.

Si eran ambos $1$, $A$ sería de identidad (no puede tener trivial Jordania bloques, debido a que $x^3-1$ es squarefree), así que al menos uno de ellos es nonreal.

$A$'s de las entradas son reales, por lo que nonreal raíces complejas se producen en el conjugado de a pares, y la suma de los dos conjugado nonreal tercer raíces de la unidad es $-1$.

En general, para un $n\times n$ matriz, la traza de una matriz es un entero de la forma $n-3k$ $0< k\leq \lfloor n/2\rfloor$ (y cualquier número entero se puede encontrar como una traza de una matriz, considere la posibilidad de bloquear las matrices con diagonal de bloques de igual a $A$ o $1\times 1$ matriz $(1)$ $0$ en otros lugares).