Ahora mismo estoy estudiando el Teorema de Schur-Zassenhaus. Ya he conocido la existencia de un complemento. Y según el libro de texto, la parte de la conjugación utilizará algunos conceptos de los grupos sobrantes, pero antes se puede demostrar algún caso especial. $$$$ Suppose a complement $ H $ of a normal Hall subgroup $ N $ of $ G $ is abelian, then all complements to $ N $ are conjugate.$$$$ Lo que he pensado: Como H es abeliano, entonces H es el producto directo de sus subgrupos Sylow.(Supongamos $H=P_1 \times P_2 ... \times P_n$ ) Y como $( |H| ,|N| )=1$ , subgrupos Sylow de $H$ son también subgrupos Sylow de $G$ . Ahora dejemos que $K$ sea otro complemento de $N$ . Similar al argumento anterior, $K$ puede escribirse como $Q_1 \times Q_2 ... \times Q_n$ . Entonces, utilizando la segunda parte del teorema de Sylow, cada $P_i$ es conjugado con $Q_i$ .(es decir $P_i = g_i Q_i {g_i}^{-1}$ para algunos $g_i$ ) Y esta es mi pregunta: si estos $g_i$ son el mismo elemento de $G$ entonces $H$ et $K$ son conjugados, pero ¿cómo demostrarlo? Estoy atascado aquí. ¿Estoy cerca de la respuesta? ¿O he llegado a un camino equivocado? Gracias de antemano.
Respuesta
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Demostrémoslo por inducción en $n$ . Si $n=1$ entonces su argumento usando el Teorema de Sylow funciona, así que suponga que $n>1$ .
Ahora, por el Teorema de Sylow, existe $g_1 \in G$ con $Q_1^{g_1}=P_1$ . Entonces, sustituyendo $K$ por su conjugado $K^{g_1}$ podemos suponer efectivamente que $P_1=Q_1$ .
Dejemos que $M = N_G(P_1)$ . Entonces $M$ contiene tanto $H$ et $K$ y son complementos abelianos de $M \cap N$ por lo que por inducción (con $N$ sustituido por $\langle M \cap N,P_1 \rangle$ ), existe $g_2 \in M$ con $(Q_2 \times \cdots \times Q_n)^{g_2} = (P_2 \times \cdots \times P_n)$ . Entonces $H^{g_2}=K$ y hemos terminado.
Tenga en cuenta que en términos de los grupos originales $H$ et $K$ tenemos $K^{g_1g_2} = H$ .
