Pregunta de conjunto linealmente independiente

Question

Si los vectores: $$ \left\ {(V_1, V_2, \ldots, V_n) \right} $$ L.I, demostrar que lo mismo se aplica a: $$ \left\ {(V_1, V_2-V_1, \ldots, V_n V_1) \right} $$ ¿cuál sería su forma de demostrarlo?

Answer 1

Asumir que hay una combinación lineal de estos vectores con coeficientes no todos nulos igual a $0$

Saber que implica el conjunto original de vectores no es linealmente independiente. Esto debería ser bastante rápido, ya que tiene una combinación lineal de los vectores originales, pero es la parte más difícil.

Concluir

Answer 2

Supongamos que %#% $ $$a_1 V_1 + a_2 (V_2 - V_1) + \dotsb + a_n (V_n - V_1) = 0$ #%. Esto asciende a $a_1,\dotsc,a_n$ $ ahora podrá concluir.

Answer 3

La matriz con las coordenadas de los vectores en el segundo set con respecto a la base dada es $$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & \dots & -1 & -1\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \ \end{bmatrix} $ que claramente tiene rango $n$.