¿Cómo encontrar el vector propio de una segunda ecuación diferencial de orden de ermitaño?

Question

Después de leer http://math.tut.fi/~piche/pde/pde.pdf , no sé cómo calcular el vector propio

Cómo encontrar el vector propio de un segundo orden de la ecuación diferencial?

¿por qué algunas personas usan el pecado como autovector? es sólo el pecado puede ser vector propio?

El problema es que eigenfunction de expansión, el primer paso es encontrar autovalor y autovector, pero no sé cómo calcular el vector propio de la ecuación diferencial

por ejemplo Arce código

x*diff(f(x), x$2) + 2*x*diff(f(x),x) + f(x) = 0
    x*diff(f(x), x$2) + 2*x*diff(f(x),x) + x = 0

Actualizado

sol := dsolve(t*diff(phi(x),x$2)-x*diff(phi(x),x)+n*phi(x),phi(x));
phi := unapply(rhs(sol), x);
BC := [phi(0)=0,phi(1)=0];
with(linalg):
Ccoef := genmatrix(BC, [_C1,_C2]);
CharEqn := det(Ccoef) = 0;

restart;
sol := dsolve(t*diff(phi(x,t,n),x$2)-x*diff(phi(x,t,n),x)+n*phi(x,t,n),phi(x,t,n));
phi := unapply(rhs(sol), x);
BC := [phi(0,0,0)=0,phi(1,1,1)=0];
with(linalg):
Ccoef := genmatrix(BC, [_C1,_C2]);
CharEqn := det(Ccoef) = 0;

**lo siento, solo los domingos momento oportuno para leer este archivo, me parece que el pecado de la función que viene de la etapa de cálculo de la ecuación característica uso del archivo pdf método para calcular la anterior ecuación diferencial para eignvector,

esta ecuación es Ermitaño después de probado, la ecuación característica es cero, es decir no autovector supongo que este cálculo de arce código tiene algo de malo

cómo calcular esto?**

Actualizado el 2 de

Originalmente espero encontrar Ermitaño H(x) y, a continuación, utilizar la suma(H*z^m/m!, m=0..infinity) encontrar un A*exp(B) donde B es en términos de z y t y es sólo una simple fórmula ahora siguiendo los pasos, supongo que la H es la solución de la función de green acerca de la expansión

se vuelven más compicated para H(x), y me parece que hay un D[2] pero no sabes de dónde vienen. entonces no sabes lo que paso es H(x), me imagino vterm o vv

sol := dsolve(t*diff(phi(x),x$2)-x*diff(phi(x),x)+n*phi(x),phi(x));
phi := unapply(rhs(sol),x);
odetest(sol,ode);
eq1:=limit(rhs(sol),x=0,right)=0;
eq2:=eval(rhs(sol),x=1)=0;
Ccoef := LinearAlgebra:-GenerateMatrix([eq1,eq2],[_C1,_C2]);
CharEqn:=LinearAlgebra:-Determinant(%[1])=0;
solve(CharEqn,t);
step1 := map(xi->simplify(subs(t=RootOf(KummerM(1/2-(1/2)*n, 3/2, 1/(2*_Z))),xi)),Ccoef);
with(linalg):
NN := nullspace(step1);
subs(_C1=NN[1][1],_C2=NN[1][2],t=RootOf(KummerM(1/2-(1/2)*n, 3/2, 1/(2*_Z))),phi(x));

phi := (n,t,x) -> KummerM(1/2-(1/2)*n, 3/2, (1/2)*x^2/RootOf(KummerM(1/2-(1/2)*n, 3/2, 1/(2*_Z))))*x;

assume(j,posint):
interface(showassumed=0):
Gterm := unapply(-phi(n,t,x)*phi(n,t,x)*exp(-lambda(j)*t)/int(phi(n,t,x)^2,x=0..1),(j,n,x,y,t)):
G:=Sum(Gterm(j,n,x,y,t),j=1..infinity);
vterm := int(D[2](Gterm)(n,1,x,t-tau),tau=0..t);
vv := sum(Sum(op(n,vterm),j=1..infinity),n=1..2);

Answer 1

Tenga en cuenta que el principio de la búsqueda de vector propio de segundo orden lineal de la educación a distancia que surgen del uso de la separación de variables en un lineal de la PDE es que encontrar la mejor forma de que el autovector de modo que podemos conseguir la mayoría de la forma simplificada de la solución objeto de la B. C. s o I. C. s

Teóricamente, la forma de la autovector puede elegir arbitrariamente. Sin embargo, dado que la resolución de lineal de ecuaciones en derivadas parciales mediante separación de variables sometidas a la de B. C. s o I. C. s debe ser inevitable para la realización del núcleo de las inversiones. La elección de los vectores propios imprudentemente se enfrentará a la demasiado complicado kernel de inversiones y se convierten en problemas. Lo que la elección de los vectores propios sabiamente debe ser importante a la hora de resolver lineal de ecuaciones en derivadas parciales.

Dado que la resolución de segundo orden lineal de la educación a distancia se tienen dos grupos de lineal de soluciones independientes, por lo que la mejor manera es que uno de los lineales independientes de soluciones se convierte en cero cuando la sustitución de la mayoría de B. C. s o I. C. s, a causa de la última B. C. o I. C. manejo restantes sólo uno de kernel.

En el hecho de encontrar el mejor vector propio es principalmente con base en nuestra experiencia personal. Tenga en cuenta que $\sin$ es sólo una de las consideraciones comunes, pero la única consideración, especialmente cuando la solución de segundo orden lineal de la educación a distancia no expresar en términos de$\sin$$\cos$, debido a $\sin$ $\cos$ tienen importantes propiedades que para todo entero $n$ , $\sin n\pi=0$ y $\cos n\pi=(-1)^n$ .

Creo que los siguientes ejemplos que ¿por qué sus vectores propios son los mejores para ser llevados a los formularios:

$1$. Los límites en la ecuación del calor: $-9\pi^2s^2-7$

$2$. Indicación sobre cómo resolver el calor ecuaciones con coeficientes no constantes: $-\dfrac{4\pi^2s^2+1}{4}$

$3$. La ecuación de onda con condiciones iniciales y de contorno - es esta la función del derecho?: $-\dfrac{(2m+1)^2\pi^2c^2}{4l^2}$

Answer 2

En el pdf publicado en la página 92 se menciona que $\{ \phi_i, \lambda_i \}$ es un conjunto de funciones propias y valores propios define como soluciones a $$ \mathcal{L} \phi+\lambda \phi = 0 \qquad \mathcal{B}\phi =0 $$ Esta notación es una forma rápida para denotar un determinado PDE y asociada a la condición de frontera(BC). En el niza ejemplos que me enseñan en mi DEqns supuesto, los valores de $\phi$ son obligados de las condiciones de contorno y las soluciones $\phi$ puede ser de seno, coseno, seno hiperbólico o coseno hiperbólico o la función constante. El PDE+BC suelen dar toda una familia de valores propios y funciones propias.

En el separables caso, los autovalores surgir, desde la propuesta de la solución es un producto de univariante soluciones, a continuación, subtitution en el PDE y un poco de álgebra te lleva a una ecuación en la que la lhs y rhs son necesariamente independientes, por lo tanto debe ser proporcional a una constante. Habitualmente, que la constante se llama el autovalor. Por ejemplo, echa un vistazo a la explícita cálculos de esto en: (tengo que correr ahora,tal vez hay una mejor hilo para enlace aquí)

La simplificación de la PDE

El término vector propio y eigenfunction son intercambiables en el contexto de la función de espacio. Sin embargo, también hay algunos cálculos de matriz en pdf y no estoy totalmente seguro de que no estás leyendo algo en algún lugar cerca de una columna de hormigón vector. El hecho de mencionar que "el pecado" me da la esperanza de que mi interpretación de autovector=eigenfunction es correcta.

Answer 3

Tenga en cuenta que esta es una respuesta, pero espero que estos puntos de aclarar algunas cosas para ti.

En cualquier libro de ecuaciones diferenciales ordinarias tratará el tema de valores propios y vectores. Googleing la educación a distancia y autovector va a obtener un montón de información útil.

Debe tener en cuenta que los vectores propios y valores sólo son útiles y relevantes para el lineal de ecuaciones diferenciales. Yo no soy real familiarizado con Arce, pero el ejemplo que has publicado que parece ser no lineal por lo que la idea de vectores propios no sería aplicable.

$\sin(x)$ es un autovector (más técnicamente, un eigenfunction) en ecuaciones diferenciales porque $\sin(x)$, $\cos(x)$, y $e^x$ todos mantienen su forma básica a través de la diferenciación operador $\frac{d}{dx}$. Así que cuando usted tiene una ecuación diferencial lineal de la forma $\dot{f}(x) + af(x) = 0$ es claro que $\dot{f}(x) = -af(x)$ $\dot{f}(x)$ $f(x)$ son de la misma forma es simplemente una versión a escala de la otra. La única función de esta propiedad es $e^x$.