Informática

Question

Quiero demostrar que $\sum_{1\leq m^2+n^2\leq R^2}{\frac{1}{m^2+n^2}}=2\pi\log R+O(1)$ $R\rightarrow\infty$.

Para esto, estoy tratando de aproximar la suma usando el integral $\int{1\leq r\leq R}{\frac{1}{x^2+y^2}}dxdy=\int{0}^{2\pi}\int_{1}^{R}{\frac{1}{r}}drd\theta=2\pi\log R$

¿Cómo puedo mostrar que $\sum{1\leq m^2+n^2\leq R^2}{\frac{1}{m^2+n^2}}=\int{1\leq r\leq R}{\frac{1}{x^2+y^2}}dxdy$ $R\rightarrow\infty$ rigurosamente?

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

$$ \begin{align} \sum_{m,n=1}^R\frac1{m^2+n^2} &=2\sum_{m=1}^R\sum_{n=1}^m\frac1{m^2+n^2}-\sum_{n=1}^R\frac1{2n^2}\\ &=2\sum_{m=1}^R\frac1m\sum_{n=1}^m\frac{\frac1m}{1+\left(\frac nm\right)^2}-\sum_{n=1}^R\frac1{2n^2}\\ \end{align} $$ La comparación de la suma de Riemann $\sum\limits_{n=1}^m\frac{\frac1m}{1+\left(\frac nm\right)^2}$ y la integral de la $\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$, vemos que $$ \sum_{n=1}^m\frac{\frac1m}{1+\left(\frac nm\right)^2}=\frac\pi4+O\left(\frac1m\right) $$ Desde $\sum\limits_{m=1}^n\frac1m=\log(n)+O(1)$, e $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{2n^2}=\frac{\pi^2}{12}$, obtenemos que $$ \sum_{m,n=1}^R\frac1{m^2+n^2}=\frac\pi2\log(R)+O(1)\etiqueta{1} $$ Además, desde el $\log(R/\sqrt2)=\log(R)+O(1)$, $$ \sum_{m,n=1}^{R/\sqrt2}\frac1{m^2+n^2}=\frac\pi2\log(R)+O(1)\etiqueta{2} $$ La suma de los términos donde $m=0$ o $n=0$ es manejado por $$ \sum_{m=1}^\infty\frac1{m^2}=\frac{\pi^2}6=O(1)\etiqueta{3} $$ Desde $$ \overbrace{\left\{1\le m,n\le R/\sqrt2\right\}}^{(2)}\subconjunto\left\{1\le m^2+n^2\le R^2\text{ y }m,n\ge1\right\}\subconjunto\overbrace{\left\{1\le m,n\le R\right\}}^{(1)} $$ y para la contabilidad de los cuatro cuadrantes y los cuatro bordes donde $m=0$ o $n=0$, obtenemos $$ \sum_{1\le m^2+n^2\le R^2}\frac1{m^2+n^2}=2\pi\log(R)+O(1) $$

Answer 2

Sólo una idea:

¿Vamos a usar $$x-1