Estoy tratando de probar que los grassmanianos $Gr_{n-k}(\mathbb R^n)$ y $Gr_{k}(\mathbb R^n)$ son homeomórficos. Intuitivamente, esto tiene sentido; especificar un $k$ -es equivalente a especificar su $n-k$ -complemento ortogonal. Pero, no estoy muy seguro de cómo demostrar esto formalmente. ¿Puede alguien explicarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es necesario elegir una métrica ni nada por el estilo. La forma correcta del isomorfismo invariante de coordenadas es que $\text{Gr}_k(V)$ es canónicamente homeomorfo (además, isomorfo como variedad proyectiva sobre un campo arbitrario) a $\text{Gr}_{n-k}(V^{\ast})$ , donde $V$ es un $n$ -y el espacio vectorial $V^{\ast}$ es su dual. El mapa canónico envía un subespacio $W$ de $V$ a su aniquilador
$$\text{Ann}(W) = \{ v^{\ast} \in V^{\ast} : v^{\ast}(W) = 0 \}.$$
¿Puedes completar el resto desde aquí?
