Grassmanians $Gr_k(\mathbb R^n) \cong Gr_{n-k}(\mathbb R^n)$

Question

Estoy tratando de probar que los grassmanianos $Gr_{n-k}(\mathbb R^n)$ y $Gr_{k}(\mathbb R^n)$ son homeomórficos. Intuitivamente, esto tiene sentido; especificar un $k$ -es equivalente a especificar su $n-k$ -complemento ortogonal. Pero, no estoy muy seguro de cómo demostrar esto formalmente. ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

No es necesario elegir una métrica ni nada por el estilo. La forma correcta del isomorfismo invariante de coordenadas es que $\text{Gr}_k(V)$ es canónicamente homeomorfo (además, isomorfo como variedad proyectiva sobre un campo arbitrario) a $\text{Gr}_{n-k}(V^{\ast})$ , donde $V$ es un $n$ -y el espacio vectorial $V^{\ast}$ es su dual. El mapa canónico envía un subespacio $W$ de $V$ a su aniquilador

$$\text{Ann}(W) = \{ v^{\ast} \in V^{\ast} : v^{\ast}(W) = 0 \}.$$

¿Puedes completar el resto desde aquí?