Sin memoria y expectativa

Question

Tengo un problema específico en el que estoy trabajando. Deje $X$ ser una exponencial de la variable aleatoria, y deje $Y$ ser una variable aleatoria definida por:

$ $ $ Y = \begin{cases} 0 & \text{ if } X < d \\ (X - d) & \text{ if } X > d \end{casos} $$

De modo que $Y$ $X$ "con un deducible $d$". Se nos dice que $E(Y) = 0.9 E(X)$, y mediante la aplicación de la ley de la total expectativa y memoryless-ness, podemos concluir que $P(X>d) = 0.9$.

Me he topado con algunos problemas en el cómputo de las $E(Y^2)$, y me he dado cuenta de una posible teorema que iba a hacer que todo funcione bien. En general, es cierto que para un memoryless variable aleatoria $X$ e integrable función de $g$,

$$ E(g(X - d) \mid X > d) = E(g(X)) ? $$

Answer 1

Muestra esa $f(X=x\mid X>d)=f_X(x)\delta(x>d)/(1-F_X(d))=f_X(x-d)\delta(x>d)$. Luego puede escribir la definición de$\mathbb{E}\left[g(X-d)\mid X>d\right]$ y verificar si las dos expresiones son iguales o no.

Answer 2

$\newcommand{\E}{\mathbb E}$ $$ \E(g(X - d) \mid X > d) = \E(g(X))\text{ ?} $$

Para cualquier conjunto medible $A\subseteq\mathbb R^+$, $$ \Pr(X-d\en\mid X>d) = \Pr(X\a). $$ En otras palabras, la probabilidad condicional de la distribución de $X-d$ que $X>d$ es el mismo que el marginal (o "incondicional") distribución de probabilidad de $X$.

Si dos variables aleatorias $X$ $W$ en dos de probabilidad diferentes espacios tienen la misma distribución, entonces para cualquier función de $g$ para que las expectativas se definen, $\E(g(X))=\E(g(W))$.

Si $X$ está definido en el espacio de $\Omega$ medida $P$ $\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)>d\}$ medida $\dfrac{P}{P(X>d)}$ es un espacio de probabilidad en su propio derecho.

Así que la respuesta es afirmativa.

Aviso de que cosas como la $\Pr(X>d)$ $\E(X)$ sólo dependen de la probabilty distribución de $X$ y no en el espacio subyacente $\Omega$. Así que si dos distribuciones de probabilidad real de las variables aleatorias son la misma, entonces tienen las mismas expectativas, cuantiles, etc.