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Me preguntaba por qué el autor no puso fin a la prueba mediante la expresión de la $\delta$ en términos de $\epsilon$ como lo hizo en anteriores ejemplos.
Es esto porque no siempre es posible expresar el $\delta$ en términos de $\epsilon$ o es que para hacerlo se requiere un mayor nivel de matemáticas que el autor no ha cubierto todavía?
Gracias de antemano por cualquier ayuda que se presta.
De hecho, resulta que uno puede elegir $\delta$ continuamente en términos de $\varepsilon$. Más precisamente, el resultado siguiente es cierto : Si $f:E\to F$ es un mapa continuo entre dos espacios métricos $E$$F$, entonces existe una función continua $\delta:E\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ tal que, para todos los $(x,y,\varepsilon)\in E\times E\times (0,\infty)$, $$d_E(x,y)<\delta(x,\varepsilon)\implies d_F(f(x),f(y))<\varepsilon\, . $$
Leí esto hace unos años en una Americana de Matemáticas. Artículo mensual, pero recuerdo ni el título del artículo, ni el nombre(s) del autor(s). Sería bueno si alguien me podría dar la referencia...
Aquí es una manera de demostrar este resultado. Consideremos el conjunto a $$C=\{ (x,y,\varepsilon)\in E\times E\times (0,\infty);\; d(f(x),f(y))\geq \varepsilon\, . $$ Desde $f$ es continua, $C$ es cerrado en $E\times E\times (0,\infty)$ (dotado de la topología producto), y claramente $(x,x,\varepsilon)\not\in C$ cualquier $(x,\varepsilon)\in E\times (0,\infty)$. De ello se sigue que si arreglamos una métrica $\rho$ $E\times E\times(0,\infty)$ (compatible con el producto de la topología), a continuación,${\rm dist}_\rho \left((x,x,\varepsilon),C\right)>0$.
Nos tomamos de las $\rho$ la métrica $$\rho((x,y,\varepsilon), (x',y',\varepsilon'))=\max(d_E(x,x'),d_E(y,y'),\vert\varepsilon-\varepsilon'\vert) $$ y definimos $\delta :E\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ por $$\delta(x,\varepsilon)={\rm dist}_\rho \left((x,x,\varepsilon),C\right) $$ A continuación, el dunction $\delta$ es continua, y es sencillo verificar que tiene la propiedad requerida. De hecho, si $x,y\in E$$\varepsilon >0$, $d_E(x,y)=\rho((x,x,\varepsilon), (x,y,\varepsilon))$ por la definición de la métrica $\rho$. Por lo tanto, si $d_E(x,y)<\delta(x,\varepsilon)$, $(x,y,\varepsilon)\not\in C$ por la definición misma de $\delta(x,\varepsilon)$, es decir,$d_F(f(x),f(y))<\varepsilon$.
En estas pruebas, $\delta$ no siempre tiene que ser escrito directamente como una función de la $\epsilon$ en el sentido usual de la palabra. Sin embargo, usted necesita demostrar que para cualquier $\epsilon$, usted puede encontrar una satisfactoria $\delta$, y el autor hace exactamente eso.
Es decir, él dice que para cualquier $\epsilon>0$, se puede seguir el siguiente proceso:
A partir de ahí, el autor procede a mostrar que esta opción de $\delta$ obras. Podemos crear una función que toma cualquier $\epsilon$ y hace esto, escupiendo $\delta=\frac{p}q$? Seguro. Es que es necesario? No; todo lo que tenía que demostrar es que para cualquier $\epsilon>0$, podemos encontrar esta $\delta$.
La razón para escribir $\delta$ como algunas de función directa de $\epsilon$ (como $\epsilon/2$ o $1/\epsilon$) es que en otros casos, esta es la manera más concisa que describa el proceso de búsqueda de $\delta$.
Si estás pensando en la continuidad de una función en un punto de $a$, sólo necesitas encontrar a $\delta$ tal implica de que $d(x,a)
Pero es posible obtener $\delta$ que funciona para cada $\epsilon$.
Por ejemplo, tomar $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ constante, por ejemplo, $f(x)=2$, para todos los $x\in \mathbb{R}$. Entonces, $\epsilon>0$, usted puede elegir cualquier $\delta>0$ y la frase anterior tiene desde $d(f(x),f(a))=d(2,2)=0
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