Información de Fisher de una función de un parámetro

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria para que el p.d.f. o la p.f. es $f(x|\theta)$, donde el valor del parámetro $\theta$ es desconocida, pero debe estar en un intervalo abierto $\Omega$. Deje $I_0(\theta)$ denotar el Pescador información en $X.$ Supongamos ahora que el parámetro de $\theta$ es reemplazado por un nuevo parámetro de $\mu$ donde $\theta = \psi(\mu)$ $\psi$ es una función derivable. Deje $I_1(\mu)$ denotar el Pescador información en $X$ cuando el parámetro es considerado como $\mu.$ Muestran que $$I_1(\mu) = [\psi'(\mu)]^2 I_0[\psi(\mu)].$$

¿Cómo puedo hacer esto? Qué necesito para utilizar una expansión de Taylor? Independientemente de esto, le agradecería una prueba escrita. Esto no es para la clase, pero la afirmación anterior ha sido mencionado en los textos sin ningún detalle alguno.

Gracias!

Answer 1

Por definición de $I{0}(\theta)=-\mathbb{E}\left[\frac{d^{2}\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta^{2}}\right].$ % que $I{1}(\mu)=-\mathbb{E}\left[\frac{d^{2}\log f\left(X\vert\mu\right)}{d\mu^{2}}\right]$. Por la regla de la cadena tenemos $$I_{1}\left(\mu\right) = -\mathbb{E}\left[\frac{d^{2}\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta^{2}}\left(\frac{d\theta}{d\mu}\right)^{2}+\frac{d\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta}\frac{d^{2}\theta}{d\mu^{2}}\right]$ $ $$= -\mathbb{E}\left[\frac{d^{2}\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta^{2}}\right]\left(\frac{d\theta}{d\mu}\right)^{2}+\mathbb{E}\left[\frac{d\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta}\right]\frac{d^{2}\theta}{d\mu^{2}}. $ $

$\mathbb{E}\left[\frac{d\log f\left(X\vert\theta\right)}{d\theta}\right]=0.$ Lo que conseguimos
$$ I {1} \left (\mu\right) = I {0} \left (\theta\right) \left (\frac {d\theta} {d\mu} \right) ^ {2}. $$